Донецкий национальный технический университет
Опубликован: 15.03.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 5215 / 1565 | Оценка: 4.11 / 3.78 | Длительность: 12:32:00
Специальности: Математик
Лекция 10:

Моделирование многомерных нелинейных систем.

< Лекция 9 || Лекция 10: 1234 || Лекция 11 >

Определение матрицы Якоби

В методе Ньютона на каждом шаге итерационного процесса поиска необходимо формировать матрицу Якоби, при этом каждый элемент матрицы можно определить:

  1. аналитически, как частную производную \frac {\delta f_i}{\delta x_j},
  2. методом численного дифференцирования, как отношение приращения функции к приращению аргумента, т.е. \frac {\delta f_i}{\delta x_j} \approx \frac{\Delta f_i}{\Delta x_j}

В результате частная производная f_i(\bar X) по первой координате х1 определится как

\frac{\delta f_i}{\delta x_1}\approx \frac{f_i(x_1+\Delta x_1,x_2,x_3 \ldots x_n)-f_i(x_1,x_2,\ldots,x_n)}{\Delta x_1},
а частная производная f_i(\bar X) по координате хj определится как

\frac{\delta f_i}{\delta x_j}\approx \frac{f_i(x_1,x_2,\ldots,x_j+\Delta x_j \ldots x_n)-f_i(x_1,x_2,\ldots,x_n)}{\Delta x_j},

где \Delta x_j \approx \varepsilon.

Метод Ньютона имеет преимущества по сравнению с другими методами. Но для метода Ньютона так же существует проблема сходимости, с увеличением числа неизвестных область сходимости уменьшается, а в случае больших систем, сходимость обеспечивается если начальная точка близка к искомому решению.

На рисунке 10.4 представлена укрупнённая схема алгоритма (блок-схема) метода Ньютона. На рисунках 10.5 и 10.6 представлены схемы алгоритмов метода Ньютона с различными способами определения матрицы Якоби.

Блок-схема алгоритма метода Ньютона

Рис. 10.4. Блок-схема алгоритма метода Ньютона
Схема алгоритма метода Ньютона (аналитическое определение матрицы Якоби)

Рис. 10.5. Схема алгоритма метода Ньютона (аналитическое определение матрицы Якоби)
 Схема алгоритма метода Ньютона (определение матрицы Якоби с помощью численного дифференцирования)

Рис. 10.6. Схема алгоритма метода Ньютона (определение матрицы Якоби с помощью численного дифференцирования)
< Лекция 9 || Лекция 10: 1234 || Лекция 11 >
Александр Никитин
Александр Никитин

Добрый день.

В расчете параметра Т4 xi суммируется с величиной h/2 ?

Елена Голяева
Елена Голяева
Иван Огородников
Иван Огородников
Россия, Ханты-Мансийск
Татьяна Якубайлик
Татьяна Якубайлик
Россия, Красноярск