НОУ ИНТУИТ | Введение в математическое моделирование. Лекция 10: Моделирование многомерных нелинейных систем.

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Донецкий национальный технический университет

Опубликован: 15.03.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 6291 / 2324 | Оценка: 4.11 / 3.78 | Длительность: 12:32:00

Темы: Алгоритмы и дискретные структуры, Математика

Специальности: Математик

|

Вам нравится? Нравится 69 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Рассмотрим пример.

Дана система нелинейных уравнений:

$\left\{ \begin{array}{l} x_1^2 + x_2^2=1\\ lnx_1 + 2x_2= -1 \end{array} \right.$

Необходимо определить область сходимости системы, выбрать начальную точку и найти одно из решений системы.

Строим графики уравнений:

Рис. 10.2.
Преобразуем систему для решения методом итераций
$\left\{ \begin{array}{l} x_1=\sqrt{1-x^2}\to \varphi_1(x_1,x_2),\\ x_2=-0,5 – 0,5 ln x_1 \to \varphi_2(x_1,x_2). \end{array} \right.$

Проверяем условие сходимости (10.4). Для заданной системы оно имеет вид:

Находим:

$\delta \varphi_1 / \delta x_1=0;\\ \delta \varphi_1 / \delta x_2= -x / \sqrt{1-x_2};\\ \delta \varphi_2 / \delta x_1= -1/2x_1;\\ \delta \varphi_2 / \delta x_2= 0$

В результате условие (10.4) будет иметь вид:

$\left|0\right| + \left|1/2x_1\right|<1,\\ \left|x_2/\sqrt{1-x_2}\right| + \left|0\right|<1.$

Определяем область сходимости G.

Граница области сходимости определится при решении системы,

$\left\{ \begin{array}{l} 1/2x_1=1;\\ x_2/\sqrt{1-x_2}=1. \end{array} \right.$

Отсюда х₁=0,5 ; $x_2=\pm \sqrt 0,5$ .

В результате область сходимости определится при $\left|x_1\right| \ge 0.5$ и $–0.707\le x_2\le 0.707$ .

На графике уравнений строим область сходимости G:

Рис. 10.3.

Выбираем начальную точку $\overline{X^0}=[0.8; -0.6]$ , принадлежащую области сходимости G. Используя выбранную начальную точку $\overline{X^0}=[0.8; -0.6]$ решаем заданную систему нелинейных уравнений.

Дальше >>

Авторизоваться

Введение в математическое моделирование

Моделирование многомерных нелинейных систем.

Вопросы и ответы