НОУ ИНТУИТ | Введение в информатику. Лекция 3: Представление графической информации

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Российский государственный гуманитарный университет

Опубликован: 13.07.2022 | Доступ: свободный | Студентов: 350 / 39 | Длительность: 11:54:00

Темы: Программирование, Образование, Школа

Специальности: Программист

|

Вам нравится? Нравится 8 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

Годографом параметрической кривой r(t) = (x(t); y(t)), компоненты которой являются полиномами, называется кривая r(t) = (x'(t); y'(t)) .

Таким образом, кривая Безье, построенная по n точкам $n(P_1 - P_0), n(P_2 - P_1), \dots, n(P_n - P_{n - 1})$ , является годографом исходной кривой Безье, построенной по точкам $P_0, P_1, \dots, P_n$ .

Пример 20. Годографом квадратичной кривой Безье

$x(t) = 2t;\\ y(t) = 2t(1 - t),$

где $0 \le t \le 1$

(см. пример 16), является кривая x(t) = 2; y(t) = 2 - 4t, при $0 \le t \le 1$ , которая представляет собой отрезок прямой x = 2 для - $2 \le y \le 2$ (рис. 3.23).

Рис. 3.23. Квадратичная кривая Безье и ее годограф - отрезок прямой

Пример 21. На рис. 3.24 показаны кубическая кривая Безье (справа) и ее годограф - квадратичная кривая Безье (слева).

Рис. 3.24. Кривая Безье (справа) и ее годограф (слева)

Отметим также, что в 3D-графике, кроме кривых Безье, используются поверхности Безье.

B-сплайны

B-сплайны являются обобщениями кривых Безье.

Последовательность действительных чисел $T = (t_0, t_1, \dots, t_m)$ , таких что $t_0 \le t_1 \le \dots \le t_m$ , называется узловым вектором, а сами эти числа - узлами.

Для заданного узлового вектора T положим:

$N_{i,0}(t)=\begin{cases} 1, t \in [t_i;t_{i+1})\\ 0, t \notin [t_i;t_{i+1}); \end{cases}\\ N_{i,k}(t)=\frac{t-t_i}{t_{i+k}-t_i}N_{I,k-1}(t)+\frac{t_{i+k+1}-t}{t_{i+k+1}-t_{i+1}}N_{i+1,k-1}(t),$

для k > 0 (считается, что $\frac00=0$ ).

Функции $N_{i,k}(t)$ называются базисными функциями степени k.

Например, при k = 1 и $i \le1$ имеем:

$N_{0,1}(t)=\frac{t-t_0}{t_1-t_0}N_{0,0}(t)=\frac{t_2-t}{t_2-t_1}N_{1,0}(t),\\ N_{1,1}(t)=\frac{t-t_1}{t_3-t_1}N_{1,0}(t)+\frac{t_3-t}{T_3-t_2}N_{2,0}(t)$

Пусть $P_0, P_1, \dots, P_n$ - попарно различные точки плоскости.

B-сплайном, или базисным сплайном степени k называется кривая

$r(t)=\sum_{i=0}^{n}N_{i,k}(t)P_i,$

для $n \ge k$ и $t \in [t_k; t_{n + 1}]$ , где базисные функции определены на узловом векторе T, который содержит n + k + 2 узлов: $T = (t_0, t_1, \dots, t_{n + k + 1})$ .

Пример 22. Пусть n = k = 1 и T = (0, 0, 1, 1), так что имеются две точки P_0 и P_1 и узлы t_0 = t_1 = 0, t_2 = t_3 = 1 . Тогда

$N_{0,0}(t)=N_{2,0}(t)=0,$

для $t \in [0;1]$

$N_{1,0}(t)\begin{cases} 1, & \text{если}\; t \in [0;1);\\ 0, & \text{если}\; t \notin [0;1) \end{cases}$

По приведенным выше формулам получаем, что для $t \in [0; 1]$

$N_{0,1}(t)=1-t$

и

$N_{1,1}(t)=t$

Поэтому B-сплайн первой степени для точек P_0 и P_1 описывается в виде $r(t) = N_{0,1}(t)P_0 + N_{1,1}(t)P_1 = (1 - t)P_0 + tP_1$ , и для $t \in [0; 1]$ представляет собой отрезок, соединяющий точки P_0 и P_1 .

В общем случае B-сплайн степени k, для $k \ge 1$ , совпадает при $t \in [0; 1]$ с кривой Безье, если n = k, а узловой вектор имеет вид:

$T=\underbrace{(0,\dots,0,}_{k=1} \underbrace{1,\dots,1)}_{k=1}$

Пример 23. Пусть n = 3, k = 1 и T = (0, 0, 1, 2, 3, 3). Построим B-сплайн первой степени по 4 точкам P_0, P_1, P_2 и P_3 :

$r(t)=N_{0,1}(t)P_0+N_{1,1}(t)P_1+N_{2,1}(t)P_2+N_{3,1}(t)P_3$

Имеем: t_0 = t_1 = 0 , t_2 = 1 , t_3 = 2 , t_4 = t_5 = 3 . Следовательно,

$N_{0,0}(t)=N_{4,0}(t)=0$

для $t \in [0;3]$

$N_{1,0}(t)\begin{cases} 1, t \in [0;1);\\ 0, t \notin [0;1); \end{cases}\\ N_{2,0}(t)\begin{cases} 1, t \in [1;2);\\ 0, t \notin [1;2); \end{cases}\\ N_{3,0}(t)\begin{cases} 1, t \in [2;3);\\ 0, t \notin [2;3); \end{cases}$

Поэтому

$N_{0,1}(t)=(1-t)N_{1,0}(t);\\ N_{1,1}(t)=tN_{1,0}(t)+(2-t)N_{2,0}(t)$

Далее,

$N_{2,1}=\frac{t-t_2}{t_3-t_2}N_{2,0}(t)=\frac{t_4-t}{t_4-t_3}N_{3,0}(t);\\ N_{}(t)=\frac{t-t_3}{t_4-t_3}N_{3,0}(t)+\frac{t_5-t}{t_5-t_4}N_{4,0}(t)$

В нашем примере

$N_{2,1}(t)-(t-1)N_{2,0}(t)+(3-t)N_{3,0}(t);\\ N_{3,1}(t)=(t-2)N_{3,0}(t)$

Таким образом, B-сплайн описывается в виде:

$r(t)\begin{cases} (1-t)P_o+tP_1, t \in [0;1);\\ (2-t)P_1+(t-1)P_2, t \in [1;2)\\ (3-t)P_2+(t-2)P_3, t \in [2;3) \end{cases}$

При $t \in [0; 3]$ он представляет собой ломаную с вершинами P_0, P_1, P_2 и P_3 (рис. 3.25).

Рис. 3.25. B-сплайн первой степени с узлами (0, 0, 1, 2, 3, 3)

Такая же ломаная получается при $t \in [1; 4]$ , если в качестве узлового вектора взять (0, 1, 2, 3, 4, 5).

Пример 24. Пусть n = 3, k = 2 и T = (0, 0, 0, 1, 3, 3, 3). Построим B-сплайн второй степени по 4 точкам P_0, P_1, P_2 и P_3 :

$r(t)=N_{0,2}(t)P_0+N_{1,2}(t)P_1+N_{2,2}(t)P_2+N_{3.2}(t)P_3$

Имеем: t_0 = t_1 = t_2 = 0 , t_3 = 1, t_4 = t_5 = t_6 = 3 . Поэтому

$N_{0,0}(t)=N_{1,0}(t)=N_{4,0}(t)=N_{5,0}(t)=0;\\ N_{2,0}(t)\begin{cases} 1,t \in[0;1);\\ 0, t \notin [0;1); \end{cases}\\ N_{3,0}(t)=\begin{cases} 1, t \in [1;3);\\ 0, t \notin [1;3). \end{cases}$

Следовательно, $N_{0,1}(t)=0; N_{1,1}(t)=(1-t) N_{2,0}(t);$

$N_{2,1}(t)=tN_{2,0}(t)+\frac12(3-t)N_{3,0}(t);\\ N_{3,1}(t)=\frac12(t-1)N_{3,0}(t)$

Далее,

$N_{0,2}(t)=\frac{t-t_0}{t_2-t_0}N_{0,1}(t)+\frac{t_3-t}{t_3-t_0}N_{1,1}(t)\\ N_{1,2}(t)=\frac{t-t_1}{t_3-t_1}N_{1,1}(t)+\frac{t_4-t}{t_4-t_2}N_{2,1}(t)\\ N_{2,2}(t)=\frac{t-t_2}{t_4-t_2}N_{2,1}(t)+\frac{t_5-t}{t_5-t_3}N_{3,1}(t)\\ N_{3,2}(t)=\frac{t-t_3}{t_5-t_3}N_{3,1}(t)+\frac{t_6-t}{t_6-t_4}N_{4,1}(t)\\ N_{4,1}(t)=\frac{t-t_4}{t_5-t_4}N_{4,0}(t)+\frac{t_6-t}{t_6-t_5}N_{5,0}(t)$

Поэтому

$N_{0,2}(t)=(1-t)^2N_{2,0}(t);\\ N_{1,2}(t)=\frac{2}{3}t(3-2t)N_{2,0}(t)+\frac16(3-t)^2N_{3,0}(t);\\ N_{2,2}(t)=\frac{1}{3}(t-1)^2N_{2,0}(t)+\frac{1}{12}(3-t)(5t-3)N_{3,0}(t);\\ N_{3,2}(t)=\frac{1}{4}(t-1)^2N_{3,0}(t),$

так как $N_{4,0}(t)=0$

Дальше >>

Авторизоваться

Введение в информатику

Представление графической информации

B-сплайны

Вопросы и ответы