НОУ ИНТУИТ | Введение в информатику. Лекция 3: Представление графической информации

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Российский государственный гуманитарный университет

Опубликован: 13.07.2022 | Доступ: свободный | Студентов: 350 / 39 | Длительность: 11:54:00

Темы: Программирование, Образование, Школа

Специальности: Программист

|

Вам нравится? Нравится 8 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

$B_3(P_0,P_1,P_2,P_3;t)=(1t \quad t^2 \quad t^3)\begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ -3&3&0&0\\ 3&-6&3&0\\ -1&3&-3&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} P_0\\ P_1\\ P_2\\ P_3\end{pmatrix}$

В общем случае столбец j матрицы порядка n + 1 кривой Безье $B_n(P_0, P_1, \dots, P_n; t)$ образуют коэффициенты при $1, t, \dots, t^n$ полинома $b_{j,n}$ .

Найдем значения производной кривой Безье в точках P_0 и P_n . Для n > 0 и $t \in [0; 1]$ имеем (см. ниже утверждение 3):

$r'(t)n\sum_{k=0}^{n-1}b_{k,n-1}(t)(P_{k+1}-P_k)$

Следовательно, r' (0) = n(P_1 - P_0) и $r'(1) = n(P_n - P_{n - 1})$ .

Производная в точке t_0 , если существует, находится в виде: $y'_x(1)=\frac{y' (t_0)}{x'(t_0)}$ . Поэтому $y'_x(0)=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}$ , если $x_1 \ne x_0$ , и $y'_x(1)=\frac{y_n-y_{n-1}}{x_n-x_{n-1}}$ , если $x_n \ne x_{n - 1}$ . Таким образом, кривая Безье касается в точке P_0 отрезка [P_0; P_1] , а в точке P_n - отрезка $[P_n; P_{n - 1}]$ .

Выпуклым называется множество, содержащее для любой пары его точек A и B все точки отрезка, соединяющего точки A и B. Выпуклой оболочкой множества точек является наименьшее выпуклое множество, содержащее эти точки.

Утверждение 1. Для $n \ge 1$ выполняется соотношение

$B_n(P_0, P_1, \dots, P_n; t) = B_1(B_{n - }1(P_0, \dots, P_{n - 1}; t), B_{n - 1}(P_1, \dots, P_n; t); t)$

Доказательство. Имеем:

$B_1(B_{n-1}(P_0,\dots, _{n-1};t), B_{n-1}(P_1,\dots, P_n;t);t)=\\ =(1-t)B_{n-1}(P_0,\dots, P_{n-1};t)+tB_{n-1}(P_1,\dots, P-n;t)=\\ =\sum_{k=0}^{n-1}C_{n-1}^{k}t^k(1-t)^{n-k}P_k+\sum_{k=0}^{n-1}C_{n-q}^kt^{k+1}(1-t)^{n-1-k}P_{k+1}=\\ =(1-t)^nP_0+\sum_{k=1}^{n-1}(C_{n-1}^k+C_{n-1}^{k-1})t^k(1-t)^{n-k}P_k+t^nP_n=\\ =\sum_{k=0}^{n}C_n^kt^k(1-t)^{n-k}P_k=B_n(P_0, P_1, \dots, P_n;t).$

Из утверждения 1 следует, что кривая Безье не выходит за пределы выпуклой оболочки точек $P_0, P_1, \dots, P_n$ .

Утверждение 2. Для $n \ge 1$ имеет место равенство:

$B_n(P_0, P_1, \dots, P_n; t) = B_{n - 1}(B_1(P_0, P_1; t), B_1(P_1, P_2; t), \dots, B_1(P_{n - 1}, P_n; t); t)$

Доказательство. Имеем:

$B_{n-1}(B_1(P_0, P_1;t),B_1(P_1, P_2;t),\dots, B_1(P_{n-1}, P_n;t);t)=\\ =\sum_{k=0}^{n-1}C_{n-1}^k(1-t)^{n-1-k}B_1(P_k, P_{k+1};t)=\\ =\sum_{k=0}^{n-1}C_{n-1}^kt^k(1-t)^{n-1-k}((1-t)P_k+tP_{k+1})=\\ =\sum_{k=0}^{n-1}C_{n-1}^kt^k(1-t)^{n-k}P_k+\sum_{k=0}^{n-1}t^{k+1}(1-t)^{n-1-k}P_{k+1}=\\ =(1-t)^nP_0+\sum_{k=0}^{n-1}(C_{n-1}^k+C_{n-1}^{k-1})t^k(1-t)^{n-k}P_k+t^nP_n=\\ =\sum_{k=0}^nC_n^kt^k(1-t)^{n-k}P_k=B_n(P_0, P_1, \dots, P_n;t)$

На утверждении 2 основан метод приближенного построения кривых Безье, созданный Полем де Кастельжо, еще одним изобретателем этих кривых (1959). Например, из утверждения 2 следует, что точка кривой Безье порядка n, соответствующая t = 0,5, совпадает при t = 0,5 с точкой кривой Безье порядка n - 1, построенной по точкам $M_0, M_1, \dots, M_{n - 1}$ , которые являются серединами отрезков, соединяющих точки P_0 и P_1, P_1 и $P_2, \dots, P_{n - 1}$ и P_n , соответственно.

Пример 17. Рассмотрим точки A, B, и C квадратичной кривой Безье, построенной в примере 16 (см. рис. 3.20), соответствующие значениям 0,25, 0,5 и 0,75 параметра t. По утверждению 2,

B_2(P_0, P_1, P_2; t) = B_1(B_1(P_0, P_1; t), B_1(P_1, P_2; t); t).

Кривыми Безье первого порядка, построенными по точкам P_0 и P_1 , а также P_1 и P_2 , являются соответственно отрезки P_0P_1 и P_1P_2 ( рис. 3.20). Значениям 0,25, 0,5 и 0,75 параметра t на них соответствуют точки Q_0, M_0, R_0 и Q_1, M_1, R_1 , которые делят эти отрезки на 4 равные части. Имеем:

$B_2(P_0, P_1, P_2; 0,25)= B_1(B_1(P_0, P_1; 0,25), B_1(P_1, P_2; 0,25); 0,25) = B_1(Q_0, Q_1; 0,25);\\ B_2(P_0, P_1, P_2; 0,5) = B_1(M_0, M_1; 0,5);\\ B_2(P_0, P_1, P_2; 0,75)= B_1(R_0, R_1; 0,75).$

Следовательно, точка A квадратичной кривой Безье совпадает с точкой отрезка Q_0Q_1 , которая отстоит на четверть от его конца Q_0 , точка B - с серединой отрезка M_0M_1 и точка C - с точкой отрезка R_0R_1 , отстоящей на три четверти от его конца R_0 .

Рис. 3.20. Точки A, B и C кривых Безье второго и первого порядков

Рассмотрим примеры приближенного построения кривых Безье. Будем использовать 3 вспомогательные точки, которые соответствуют значениям 0,25, 0,5 и 0,75 параметра t.

Пример 18. Построим кривую Безье по 3 точкам P_0, P_1 и P_2 . Соединим отрезками точки P_0 и P_1 , а также P_1 и P_2 , и разделим каждый отрезок на 4 равные части, отметив на них по 3 точки - концы этих частей. Занумеруем эти точки так, как показано на 3.21рис..

Соединим отрезками точки с равными номерами и отметим на первом из них точку A, отстоящую на четверть от первого конца отрезка, на втором - середину B и на третьем отрезке - точку C, отстоящую на три четверти от первого его конца.

Теперь проведем кривую, которая проходит через точки P_0 , A, B, C и P_2 так, чтобы она касалась построенных отрезков и не выходила за их пределы, как показано на рисунке 3.21.

Рис. 3.21. Построение кривой Безье по 3 точкам

Пример 19. Построим кривую Безье по 4 точкам P_0, P_1, P_2 и P_3 , как показано на рис. 3.22. Как и ранее, соединим точки P_0 и P_1, P_1 и P_2, P_2 и P_3 отрезками и разделим каждый отрезок на 4 равные части, занумеровав точки деления так, как показано на рисунке. Последовательно соединим отрезками точки с равными номерами.

На первой паре отрезков отметим точки, отстоящие от первого конца отрезка на четверть, соединим их и на новом отрезке отметим точку A, отстоящую на четверть от первого конца отрезка. Точно так же, соединим середины второй пары отрезков и на новом отрезке отметим середину B. На третьей паре отрезков отметим точки, отстоящие от начала на три четверти, соединим их и на новом отрезке отметим точку C, отстоящую на три четверти от первого его конца.

Рис. 3.22. Построение кривой Безье по 4 точкам

Проведем кривую, которая проходит через точки P_0, A, B, C и P_3 и касается в них построенных отрезков, но не выходит за их пределы.

Утверждение 3. Для n > 0 и $t \in [0; 1]$ выполняется соотношение

$\frac{d}{dt}\sum_{k=0}^{n}b_{k,n}(t)P_k=n\sum_{k=0}^{n-1}B_{k,n-1}(t)(P_{k+1}-P_k)$

Доказательство. Имеем:

$\frac{d}{dt}\sum_{k=0}^{n}b_{k,n}(t)P_k =(\sum_{k=0}^nC_n^kt^k(1-t)^{n-k}P_k)'=\\ =\sum_{k=0}^nC_n^k(kt^{k-1}(1-t)^{n-k}-(n-k)t^k(1-t)^{n-k-1}P_k=\\ =\sum_{k=0|^nC_n^kkt^{k-1}(1-t)^{n-k}P_k-\sum_{k=0}^n-1}C_k^n(n-k)t^k(1-t)^{n-k-1}P_k=\\ =\sum_{k=0}^{n-1}(C_n^{k+1}(k+1)P_{k+1}-C_n^k(n-k)P_k)t^k(1-t)^{n-k-1}=\\ =n\sum_{k=0}^{n-1}C_{n-1}^kt^k(1-t)^{n-k-1}(P_{k+1}-P_k),$

так как $C_n^{k+1}(k+1)=nC_n^k(n-k).$

Следствие. Для n > 1 является верным равенство

$(B_n(P_0, P_1, \dots, P_n; t))' = B_{n - 1}(n(P_1 - P_0), n(P_2 - P_1), \dots, n(P_n - P_{n - 1}); t).$

Дальше >>

Авторизоваться

Введение в информатику

Представление графической информации

Вопросы и ответы