Лемма Цорна и свойства операций

Теорема 31. Всякий частичный порядок может быть продолжен до линейного.

Доказательство. Пусть - частично упорядоченное множество. Теорема утверждает, что существует отношение порядка на , продолжающее исходное (это значит, что ) и являющееся отношением линейного порядка. (Кстати, отметим, что слово "линейного" в формулировке теоремы нельзя заменить на слово "полного" - например, если исходный порядок линейный, но не полный.)

Готовясь к применению леммы Цорна, рассмотрим частично упорядоченное множество , элементами которого будут частичные порядки на (то есть подмножества множества , обладающие свойствами рефлексивности, транзитивности и антисимметричности), упорядоченные по включению: считается меньшим или равным , если продолжает (из следует ).

Легко проверить, что условие леммы Цорна выполнено: если у нас есть семейство частичных порядков, линейно упорядоченное по включению, то объединение этих порядков является частичным порядком, и этот порядок будет верхней границей семейства. (Проверим, например, что объединение обладает свойством транзитивности. Пусть в одном из порядков семейства , а в другом; один из порядков (например, ) продолжает другой, тогда и потому в объединении. Рефлексивность и антисимметричность проверяются столь же просто.)

Следовательно, по лемме Цорна на множестве существует максимальный частичный порядок, продолжающий исходный. Обозначим его как (путаницы с исходным порядком не возникнет, так как исходный нам больше не нужен). Нам надо показать, что он будет линейным. Пусть - два несравнимых элемента. Расширим порядок до нового порядка , при котором . Этот новый порядок определяется так: , если (1) или (2) и . Несложно проверить, что будет частичным порядком. Рефлексивность очевидна. Транзитивность: если и , то есть четыре возможности. Если в обоих случаях имеет место случай (1), то и все очевидно. Если в силу (1), а в силу (2), то и , так что в силу (2). Аналогично рассматривается и симметричный случай. Наконец, двукратная ссылка на (2) невозможна, так как тогда , , и , и получается, что , а мы предполагали, что и не сравнимы. Антисимметричность доказывается аналогично. Таким образом, отношение будет частичным порядком, строго содержащим , что противоречит максимальности.

120. Покажите, что любое бинарное отношение без циклов (цикл образуется, если , или , или и т.д) может быть продолжено до линейного порядка. (Для конечных множеств поиск такого продолжения обычно называют " топологической сортировкой ".)

121. Множество на плоскости называется выпуклым, если вместе с любыми двумя точками оно содержит соединяющий их отрезок. Покажите, что любые два непересекающихся выпуклых множества можно разделить прямой (каждое множество лежит по одну сторону от прямой, возможно, пересекаясь с ней). (Указание. Используя лемму Цорна, можно расширить исходные непересекающиеся множества и до взаимно дополнительных выпуклых множеств и . Затем можно убедиться, что граница между и представляет собой прямую.)