Функции

До сих пор мы старались ограничиваться минимумом формальностей и говорили о функциях, их аргументах, значениях, композиции и т.п. без попыток дать определения этих понятий. Сейчас мы дадим формальные определения.

Пусть и - два множества. Рассмотрим множество всех упорядоченных пар , где и . Это множество называется декартовым произведением множеств и и обозначается . (К вопросу о том, что такое упорядоченная пара, мы еще вернемся)

Любое подмножество множества называется отношением между множествами и . Если , говорят о бинарном отношении на множестве . Например, на множестве натуральных чисел можно рассмотреть бинарное отношение " быть делителем", обычно обозначаемое символом . Тогда можно в принципе было бы написать и . Обычно, однако, знак отношения пишут между объектами (например, ).

59.Вопрос для самоконтроля: отношения " быть делителем" и " делиться на" - это одно и то же отношение или разные? (Ответ: конечно, разные - в упорядоченной паре порядок существен.)

Если аргументами функции являются элементы множества , а значениями - элементы множества , то можно рассмотреть отношение между и , состоящее из пар вида . По аналогии с графиками функций на плоскости такое множество можно назвать графиком функции . С формальной точки зрения, однако, удобнее не вводить отдельного неопределяемого понятия функции, а вместо этого отождествить функцию с ее графиком.

Отношение называется функцией из в , если оно не содержит пар с одинаковым первым членом и разными вторыми. Другими словами, это означает, что для каждого существует не более одного , при котором .

Те элементы , для которых такое существует, образуют область определения функции . Она обозначается (от английского слова domain). Для любого элемента можно определить значение функции на аргументе (" в точке ", как иногда говорят) как тот единственный элемент , для которого . Этот элемент записывают как . Все такие элементы образуют множество значений .

Если , то говорят, что функция не определена на . Заметим, что по нашему определению функция из в не обязана быть определена на всех элементах множества - ее область определения может быть любым подмножеством множества . Симметричным образом множество ее значений может не совпадать с множеством .

Если область определения функции из в совпадает с , то пишут .

Пример: тождественная функция переводит множество в себя, причем для любого . Она представляет собой множество пар вида для всех . (Индекс в иногда опускают, если ясно, о каком множестве идет речь.)

Композицией двух функций и называют функцию , определенную соотношением . Другими словами, представляет собой множество пар . Композиция функций обозначается (мы, как и в большинстве книг, пишем справа функцию, которая применяется первой).

Очевидно, композиция (как операция над функциями) ассоциативна, то есть , поэтому в композиции нескольких подряд идущих функций можно опускать скобки.

Пусть . Прообразом подмножества называется множество всех элементов , для которых . Оно обозначается :

Образом множества называется множество всех значений функции на всех элементах множества . Оно обозначается Строго говоря, обозначение может привести к путанице (одни и те же круглые скобки употребляются и для значения функции, и для образа множества), но обычно ясно, что имеется в виду.

60. Какие из следующих равенств верны?

(Здесь , , , , .)