НОУ ИНТУИТ | Введение в теорию множеств. Лекция 3: Теорема Кантора

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

Опубликован: 21.02.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 1686 / 169 | Оценка: 4.60 / 3.50 | Длительность: 14:25:00

Теги: beta, алгебра, антисимметричность, бесконечная последовательность, геометрия, график функции, графика, инъекция, отношение частичного порядка, полный порядок, порядковый тип, рекурсивное определение, теория, частичная упорядоченность, частичный порядок, элементы

|

Вам нравится? Нравится 29 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Аннотация: Краткая историческая справка по данной теореме, называемой также теоремой Шредера- Бернштейна. Данная теорема определяет условие, при котором множества A и B – равномощны. Подробное исследование текущего вопроса с полным доказательством, различными рисунками для более наглядного представления. Исходя из теоремы Кантора – Бернштейна рассматривается вопрос о сравнении мощностей. Небольшое количество задач

Ключевые слова: определение, множества, мощность, отношение, подмножество, функция, пересечение, работ, прямой, отрезок, доказательство, равенство, транзитивность, класс, выход, единица, проекция

Определение равномощности уточняет интуитивную идею о множествах " одинакового размера". А как формально определить, когда одно множество " больше" другого?

Говорят, что множество по мощности не больше множества , если оно равномощно некоторому подмножеству множества (возможно, самому ).

44. Некто предложил такое определение: множество имеет строго меньшую мощность, чем множество , если оно равномощно некоторой части множества , не совпадающей со всем . Почему это определение неудачно? (Указание. Популярные рассказы о теории множеств часто начинаются с такого парадокса, восходящего к Галилею. Каких чисел больше - всех натуральных чисел или точных квадратов? С одной стороны, точные квадраты составляют лишь небольшую часть натуральных чисел; с другой стороны их можно поставить во взаимно однозначное соответствие со всеми натуральными числами.)

Отношение " иметь не большую мощность" обладает многими естественными свойствами:

Если и равномощны, то имеет не большую мощность, чем . (Очевидно.)
Если имеет не большую мощность, чем , а имеет не большую мощность, чем , то имеет не большую мощность, чем . (Тоже несложно. Пусть находится во взаимно однозначном соответствии с $B'\hm\subset B$ , а находится во взаимно однозначном соответствии с $C'\hm\subset C$ . Тогда при втором соответствии соответствует некоторому множеству $C''\hm\subset C'\hm\subset C$ , как показано на рис.3.1, и потому равномощно .)

Рис. 3.1. Транзитивность сравнения мощностей
Если имеет не большую мощность, чем , а имеет не большую мощность, чем , то они равномощны. (Это вовсе не очевидное утверждение составляет содержание теоремы Кантора - Бернштейна, которую мы сейчас докажем.)
Для любых двух множеств и верно (хотя бы) одно из двух: либо имеет не большую мощность, чем , либо имеет не большую мощность, чем . (Доказательство этого факта требует так называемой " трансфинитной индукции" см. "Теорема Цермело" , теорема 25.)

Теорема 5. (Кантора-Бернштейна) Если множество равномощно некоторому подмножеству множества , а равномощно некоторому подмножеству множества , то множества и равномощны.

Доказательство

Пусть равномощно подмножеству B_1 множества , а равномощно подмножеству A_1 множества (см. рис. 3.2).

Рис. 3.2.

При взаимно однозначном соответствии между и A_1 подмножество $B_1\hm\subset B$ переходит в некоторое подмножество $A_2\hm\subset A_1$ . При этом все три множества , B_1 и A_2 равномощны, - и нужно доказать, что они равномощны множеству , или, что то же самое, A_1 .

Теперь мы можем забыть про множество и его подмножества и доказывать такой факт:

если $A_2 \hm\subset A_1\hm\subset A_0$ и равномощно , то все три множества равномощны.

(Для единообразия мы говорим A_0 вместо .)

Пусть - функция, осуществляющая взаимно однозначное соответствие $A_0\hm\to A_2$ (элемент $x\hm\in A_0$ соответствует элементу $f(x)\hm\in A_2$ ). Когда A_0 переходит в A_2 , меньшее множество A_1 переходит в какое-то множество $A_3\hm\subset A_2$ (см. рис. 3.3). Аналогичным образом само A_2 переходит в некоторое множество $A_4\hm\subset A_2$ . При этом $A_4\hm\subset A_3$ , так как $A_1\hm\subset A_2$ .