Донецкий национальный технический университет
Опубликован: 09.07.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 2920 / 624 | Оценка: 4.34 / 4.12 | Длительность: 13:54:00
Специальности: Программист
Лекция 1:

Математическое моделирование. Математическая модель в задачах оптимизации. Элементарные математические модели

Лекция 1: 123456 || Лекция 2 >

3. Применение аналогий при построении моделей. В огромном числе случаев при попытке построить модель какого-либо объекта либо невозможно прямо указать фундаментальные законы или вариационные принципы, которым он подчиняется, либо, с точки зрения наших сегодняшних знаний, вообще нет уверенности в существовании подобных законов, допускающих математическую формулировку. Одним из плодотворных подходов к такого рода объектам является использование аналогий с уже изученными явлениями. Что, казалось бы, общего между радиоактивным распадом и динамикой популяций, в частности изменением численности населения нашей планеты? Однако на простейшем уровне такая аналогия вполне просматривается, о чем свидетельствует одна из простейших моделей популяций, называемая моделью Мальтуса. В ее основу положено простое утверждение - скорость изменения населения со временем t пропорциональна его текущей численности N(t), умноженной на сумму коэффициентов рождаемости \alpha (t) \geq 0 и смертности \beta (t) \leq 0. В результате приходим к уравнению

\frac{dN(t)}{dt}=[\alpha(t) - \beta(t)]N(t), ( 10)
весьма похожему на уравнение радиоактивного распада и совпадающего с ним при \alpha < \beta (если \alpha и \beta постоянные). Это неудивительно, так как при их выводе использовались одинаковые соображения. Интегрирование уравнения (10) дает
N(t)=N(0) \exp \left( \int\limits_{t_0}^t [\alpha(t)-\beta(t)]dt \right),
где N(0) = N(t = t0) — начальная численность.

На рис. 1.7 приведены графики функции N(t) при постоянных \alpha и \beta (разным подобным друг другу кривым соответствуют разные t0 — значения времени начала процесса). При \alpha = \beta численность остается постоянной, т.е. в этом случае решением уравнения является равновесная величина N(t) = N(0). Равновесие между рождаемостью и смертностью неустойчиво в том смысле, что даже небольшое нарушение равенства \alpha = \beta приводит с течением времени ко все большему отклонению функции N(t) от равновесного значения N(0). При \alpha < \beta численность населения убывает и стремится к нулю при t \rightarrow \infty, а при \alpha > \beta растет по некоторому экспоненциальному закону, обращаясь в бесконечность при t \rightarrow \infty. Последнее обстоятельство и послужило основанием для опасений Мальтуса о грядущем перенаселении Земли со всеми вытекающими отсюда последствиями.

Изменение численности популяции со временем в модели Мальтуса

Рис. 1.7. Изменение численности популяции со временем в модели Мальтуса

Как в данном примере, так и в ряде рассмотренных выше случаев можно указать немало очевидных ограничений применимости построенной модели. Конечно же, сложнейший процесс изменения численности населения, зависящий к тому же от сознательного вмешательства самих людей, не может описываться какими-либо простыми закономерностями. Даже в идеальном случае изолированной биологической популяции предложенная модель не отвечает реальности в полной мере хотя бы из-за ограниченности ресурсов, необходимых для ее существования.

Сделанное замечание тем не менее нисколько не умаляет роли аналогий в построении математических моделей очень сложных явлений.

Применение аналогий основано на одном из важнейших свойств моделей - их универсальности, т. е. их приложимости к объектам принципиально различной природы. Так, предположения типа "скорость изменения величины пропорциональна значению самой величины (или некоторой функции от нее)" широко используются в далеких друг от друга областях знаний.

4. Иерархический подход к получению моделей. Лишь в редких случаях бывает удобным и оправданным построение математических моделей даже относительно простых объектов сразу во всей полноте, с учетом всех факторов, существенных для его поведения. Поэтому естествен подход, реализующий принцип "от простого — к сложному", когда следующий шаг делается после достаточно подробного изучения не очень сложной модели. При этом возникает цепочка ( иерархия ) все более полных моделей, каждая из которых обобщает предыдущие, включая их в качестве частного случая.

Построим такую иерархическую цепочку на примере модели многоступенчатой ракеты. Как было установлено в конце п.1, реальная одноступенчатая ракета неспособна развить первую космическую скорость. Причина этого - затраты горючего на разгон ненужной, отработавшей части структурной массы. Следовательно, при движении ракеты необходимо периодически избавляться от балласта. В практической конструкции это означает, что ракета состоит из нескольких ступеней, отбрасываемых по мере их использования.

Пусть mi — общая масса i -й ступени, \lambda m_i - соответствующая структурная масса (при этом масса топлива равна величине (1 - \lambda)m_i ), m_p - масса полезной нагрузки. Величины \lambda и скорость истечения газов одинаковы для всех ступеней. Возьмем для определенности число ступеней n = 3. Начальная масса такой ракеты равна

m0=mp+m1+m2+m3

Рассмотрим момент, когда израсходовано все топливо первой ступени и масса ракеты равна величине

m_p + \lambda m_1 + m_2 + m_3.

Тогда по формуле (6) первоначальной модели скорость ракеты равна

v_1=u \ln \left( \frac{m_0}{m_p + \lambda m_1 + m_2 + m_3} \right).

После достижения скорости v1 структурная масса \lambda m_1 отбрасывается и включается вторая ступень. Масса ракеты в этот момент равна

mp+m2+m3

Начиная с этого момента и до момента полного выгорания топлива второй ступени, ничто не мешает пользоваться уже построенной моделью, применив ее к рассматриваемому случаю. Все рассуждения о сохранении суммарного импульса и соответствующие выкладки остаются в силе (следует только учесть, что у ракеты уже есть начальная скорость vi ). Тогда по формуле (6) после выгорания топлива во второй ступени ракета достигает скорости

v_2 = v_1 + u \ln \left( \frac{m_p + m_2 + m_3}{m_p + \lambda m_2 + m_3} \right).
Такие же рассуждения применимы и к третьей ступени ракеты. После отключения ее двигателей скорость ракеты равна
v_3 = v_2 + u \ln \left( \frac{m_p + m_3}{m_p + \lambda m_3} \right).

Эту цепочку нетрудно продолжить для любого числа ступеней и получить соответствующие формулы. В случае же n = 3 для окончательной скорости имеем

\frac{v_3}{u} = \ln \left{
\left( \frac{m_0}{m_p + \lambda m_1 + m_2 + m_3} \right)
\left( \frac{m_p + m_2 + m_3}{m_p + \lambda m_2 + m_3} \right)
\left( \frac{m_p + m_3}{m_p + \lambda m_3} \right)
\right},
или, вводя величины
\alpha_1 = \frac{m_0}{m_p + m_2 + m_3}, \;
\alpha_2 = \frac{m_p + m_2 + m_3}{m_p + m_3}, \;
\alpha_3 = \frac{m_p + m_3}{m_p},

Получаем

\frac{v_3}{u} = \ln \left\{
\left( \frac{\alpha_1}{1+\lambda(\alpha_1 - 1)} \right)
\left( \frac{\alpha_2}{1+\lambda(\alpha_2 - 1)} \right)
\left( \frac{\alpha_3}{1+\lambda(\alpha_3 - 1)} \right)
\right\}

Данное выражение симметрично по отношению к величинам \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 и нетрудно показать, что его максимум достигается в симметричном случае, т.е. при \alpha_1 = \alpha_2 = \alpha_3 = \alpha. При этом для i = 3

\alpha = \frac{1 - \lambda}{P - \lambda}, \qquad P = \exp \left( - \frac{v_3}{3u} \right).

Произведение \alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 = \alpha, как легко проверить, отношению m0/mp, или

\alpha^3 = \frac{m_0}{m_p} = \left( \frac{1-\lambda}{P-\lambda} \right)^3.

Для многоступенчатой ракеты, аналогично, имеем

\frac{m_0}{m_p} = \left( \frac{1-\lambda}{P-\lambda} \right)^n, \qquad P= \exp \left( - \frac{v_n}{nu} \right), ( 11)
где n — число ступеней.

Проанализируем формулу (11). Примем vn = 10,5 км/с, \lambda = 0,1. Тогда для n = 2, 3, 4 получаем m0 = 149 mр, m0 = 77 mp, m0 = 65 mp соответственно. Это значит, что двухступенчатая ракета пригодна для выведения на орбиту некоторой полезной массы (однако при одной тонне полезного груза необходимо иметь ракету весом 149 тонн). Переход к третьей ступени уменьшает массу ракеты почти в два раза (но, конечно же, усложняет ее конструкцию), а четырехступенчатая ракета не дает заметного выигрыша по сравнению с трехступенчатой.

Построение иерархической цепочки позволило относительно просто прийти к этим важным выводам. Иерархия математических моделей часто строится и по противоположному принципу "от сложного к простому". В этом случае реализуется путь "сверху вниз" - из достаточно общей и сложной модели при соответствующих упрощающих предположениях получается последовательность все более простых (но имеющих уменьшающуюся область применимости) моделей.

Лекция 1: 123456 || Лекция 2 >
Максим Земан
Максим Земан
Россия, Омск, ОмГТУ, 2005
Олег Корсак
Олег Корсак
Латвия, Рига