НОУ ИНТУИТ | Введение в компьютерную алгебру. Лекция 8: Разложение многочленов на неприводимые множители по модулю p. Лемма Гензеля

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 04.03.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 1644 / 57 | Оценка: 4.56 / 3.67 | Длительность: 30:07:00

ISBN: 978-5-9556-0099-4

Темы: Алгоритмы и дискретные структуры, Математика

Специальности: Программист, Математик

|

Вам нравится? Нравится 28 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

А31. АЛГОРИТМ (линейного подъема для нескольких множителей).

$\begin{equation} \text{Дано:\quad$f(x)$, $g_1[i](x)$, $\tilde g[i](x)\in \mathbb Z[x]$ $i=1..r$,}\\ \text{ \qquad $p \in \mathbb Z$ - простое число,} \\ \text{\qquad $f(x)\equiv \prod\limits_ig_1[i](x) \pmod p$, }\\ \text{\qquad $1\equiv \sum\limits_i\prod\limits_{j\ne i}g_1[j](x)\tilde g[i](x) \pmod p$, $k\in \N$} \\ \text{Надо: \qquad $g[i]$ такие, что $f(x)\equiv \prod\limits_ig[i](x) \pmod{p^k}$ }\\ \text{Начало}\\ \text{цикл для $i$ от $1$ до $r$}\\ \text{\qquad $g[i]:=g_1[i]$}\\ \text{конец цикла}\\ \text{цикл для $t$ от $1$ до $k-1$}\\ \text{\qquad $d:=\dfrac{f-\prod\limits_ig[i]}{p^t} \pmod p$}\\ \text{\qquad цикл для $i$ от $1$ до $r$}\\ \text{\qquad \qquad $g_c:= d\cdot \tilde g[i] \pmod{p, g_1[i]}$}\\ \text{\qquad \qquad $g[i]:=g[i]+g_c\cdot p^t$}\\ \text{\qquad конец цикла}\\ \text{конец цикла}\\ \text{Конец} \end{equation}$

Изложим теперь вариант леммы Гензеля, основанный на квадратичном подъеме, т.е. на переходе от сравнения по модулю к сравнению по модулю q^2 . Основное его отличие от линейного заключается в том, что сравнение $1\equiv \sum\limits_i\prod\limits_{j\ne i}g_1[j](x)\tilde g[i](x) \pmod p$ , заменяется аналогичным сравнением по переменному модулю . Естественно, что такое сравнение недостаточно выполнить один раз, необходимо вычислять его в основном цикле, что существенно повышает сложность этого цикла.

Рассмотрим задачу в следующей постановке.

Дано: полином $f(x)\in \mathbb Z[x]$ , число взаимно простое с $\textrm{lc} (f)$ , разложение полинома на взаимно простые множители над кольцом вычетов по модулю :
$\begin{equation}\ f(x)\equiv u_1 (x)\dots u_r (x) \pmod q. \end{equation}$ ( 18.2)
Предполагается, что $\textrm{lc} (u_1) = \textrm{lc} (f)$ , а старшие коэффициенты всех остальных множителей равны 1. Кроме того, заданы значения переменных $v_1, \dots, v_r$ типа полином, удовлетворяющие условиям:
$\begin{equation} \deg (v_i) < \deg (u_i ) \text{ для } 1\leq i\leq r \end{equation}$ ( 18.3)
и
$\begin{equation} \sum_{i=1}^r v_i (x) \tilde u_i (x) \equiv 1 \pmod q, \end{equation}$ ( 18.4)
где $\tilde u_i (x) =\prod\limits^r_{j=1,j\ne i} u_j (x)$ . Выше сказано, как найти полиномы для первого шага алгоритма (когда является простым числом). Надо поднять это разложение до сравнения по модулю , т.е. найти такие $\hat u_1 (x),\dots,\hat u_r(x)$ , что $\textrm{lc}(\hat u_1) = \textrm{lc} (f)$ , старшие коэффициенты всех остальных множителей равны 1, и $f(x)\equiv \hat u_1(x)\dots\hat u_r(x) \pmod{q^2}$ . Требуется также найти новые значения переменных $v_1, \dots, v_r$ , удовлетворяющие соотношениям (18.3) и (18.4), в которых полиномы заменены на $\hat u(x)$ , а заменено на .

В рассматриваемом алгоритме факторизации является степенью , а множители $u_1, \dots, u_r$ получаются подъемом неприводимых делителей f(x) по модулю .

А32. АЛГОРИТМ (квадратичный подъем (q, f(x), u, v) ).

$\begin{equation}\\ \text{Дано:\quad $f(x)\in \mathbb Z[x]$} \\ \text{\qquad $q\in \mathbb Z$\qquad\qquad // основание сравнения }\\ \text{\qquad $u,v$ - векторы типа $\mathbb Z[x]$ с индексом $1..r$}\\ \text{Надо: \qquad $q$ \qquad // новое значение основания сравнения} \\ \text{\qquad $u,v$ \qquad новые значения векторов}\\ \text{Переменные:\quad $t(x)\in \mathbb Z[x]$} \\ \text{\qquad $w$ - вектор элементов типа $\mathbb Z[x]$ с индексом $1..r$}\\ \text{Начало}\\ \text{$t(x) := (f(x) - \prod\limits_{i=1}^r u_i (x)) \pmod{q^2}$}\\ \text{$t(x) := t(x)/q$}\\ \text{цикл для $i$ от $1$ до $r$}\\ \text{\qquad $w_i(x) :=$ остаток от деления $t(x)\cdot v_i(x) $ на $u_i(x)$ по $\pmod q$}\\ \text{\qquad $u_i(x) := u_i(x) + q\cdot w_i(x)$}\\ \text{конец цикла }\\ \text{$t(x) := (1 - \sum\limits_{i=1}^r v_i(x) \tilde u_i(x)) \pmod{q^2}$}\\ \text{$t (x) := t(x)/q$}\\ \text{цикл для $i$ от $1$ до $r$}\\ \text{\qquad $w_i(x) :=$ остаток от деления $t(x)\cdot v_i(x)$ на $u_i(x)$ по $\pmod q$}\\ \text{\qquad $v_i(x) := v_i(x) + q\cdot w_i(x)$}\\ \text{конец цикла}\\ \text{Конец} \end{equation}$

Работа алгоритма начинается с вычисления вспомогательного многочлена t(x) . Заметим, что из условий, наложенных на старшие коэффициенты, следует, что $\deg t < \deg f$ . Кроме того, из (18.2) следует, что $t(x)\equiv 0\pmod q$ , поэтому деление во второй строке выполняется нацело. В первом цикле мы ищем многочлены $\hat u_i (x)$ в виде u_i
(x) + q w_i (x) , для чего находим w_i (x) , такие, что $\deg w_i < \deg u_i$ и

$\begin{equation} \sum_i w_i (x) \tilde u_i (x)\equiv t(x) \pmod q. \end{equation}$

( 18.5)

Условию (18.5) удовлетворяют многочлены t(x) v_i
(x)

, но для них не выполняется ограничение по степеням. При переходе от $t(x)\cdot v_i (x)$ к его остатку от деления на u_i(x)

значение соответствующего слагаемого по модулю $u_i(x) \tilde u_i(x) = \prod\limits_i u_i(x)$ не изменится. Выполнение равенства (18.5) после замены всех полиномов $t\cdot v_i$ соответствующими остатками следует из того, что степени и левой, и правой его части меньше степени полинома f(x)

.

По завершении работы первого цикла многочлены $\hat u_i(x)$ найдены, и мы переходим к модификации полиномов v_i . Снова вводим вспомогательный многочлен t(x) . Из условий(18.3) следует, что $\deg t < \deg f$ , а из (18.4) - что $t(x)\equiv 0\pmod q$ , так что в следующей строке деление выполняется нацело.

В цикле мы ищем многочлены $\hat v_i(x)$ в виде $v_i(x) + q\cdot w_i(x)$ , для чего находим w_i(x) , такие, что $\deg w_i < \deg u_i$ и

$\begin{equation} \sum_i\tilde w_i(x)\cdot u_i(x)\equiv t(x) \pmod q \end{equation}$

( 18.6)

Условию (18.6) удовлетворяют полиномы $t(x)\cdot v_i (x)$ , но для них не выполняется ограничение по степеням; при переходе от $t(x)\cdot v_i(x)$ к его остатку от деления на u_i(x) значение соответствующего слагаемого по модулю $u_i(x)\tilde u_i(x) =\prod\limits_i u_i(x)$ не изменится. Выполнение равенства (18.6) после замены всех полиномов $t\cdot v_i$ соответствующими остатками следует из того, что степени и левой, и правой его части меньше степени полинома f(x) .

Дальше >>

Авторизоваться

Введение в компьютерную алгебру

Разложение многочленов на неприводимые множители по модулю p. Лемма Гензеля

Вопросы и ответы