Введение в компьютерную алгебру
[+]
Опубликован: 04.03.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 1652 / 63 | Оценка: 4.56 / 3.67 | Длительность: 30:07:00
ISBN: 978-5-9556-0099-4
Темы: Алгоритмы и дискретные структуры, Математика
Специальности: Программист, Математик
Теги: beta, алгебра, алгоритмы, арифметика, вычисления, дифференциальные уравнения, интервальная арифметика, компьютерная алгебра, лексикографическая упорядоченность, метод неопределенных коэффициентов, обобщенный многочлен, поле вычетов, полугруппа, сложность, старший коэффициент, степенные ряды, теорема Ферма, теория, теория чисел, элементы
Лекция 8:

Разложение многочленов на неприводимые множители по модулю p. Лемма Гензеля
A
|
версия для печати
< Лекция 7 || Лекция 8: 123456 || Лекция 9 >

Алгоритм Берлекэмпа

А28. АЛГОРИТМ (нулевое_приближение_разложения).

\begin{equation*} \text{Дано: \quad $p$- простое число,}\\ \text{\qquad $f(x)\in\mathbb Z[x]$ свободен от квадратов по модулю $p$ }\\ \text{Надо:\qquad $U$ - разложение $f$ на неприводимые над полем $F_p$ }\\ \text{Обозначения:\quad $t=U.$число\_множителей} \\ \text{\qquad $n=f.$степень } \\ \text{\qquad $u=U.$множители } \\ \text{\qquad $\cI$- единичная $n{\times}n$-матрица} \\ \text{Переменные: \qquad $\EuScript Q $ - матрица $(n\times n)$ элементов поля $F_p$} \\ \text{\qquad $m,r\in\mathbb Z$ } \\ \text{ \qquad $v$ - вектор элементов типа $F_p[x]$ с индексом $1..r$}\\ \text{Начало} \\ \text{сформировать матрицу $\EuScript Q $} \\ \text{базис нуль-пространства матрицы $(n,\EuScript Q -\cI,r,v)$} \\ \text{$t := 1$ }\\ \text{$m := 1$} \\ \text{$u[1](x) := f(x)$ }\\ \text{цикл для $m$ от $1$ до $r$ пока $t < r$}\\ \text{\qquad цикл для $j$ от $2$ до $r$ пока $t < r$} \\ \text{\qquad \qquad цикл для $s$ от $0$ до $p-1$ пока $t < r$}\\ \text{\qquad \qquad \qquad $h(x):=НОД(u[m](x),v[j](x)-s)$}\\ \text{\qquad \qquad \qquad если $h(x)\ne 1$, то}\\ \text{\qquad \qquad \qquad \qquad если $h(x) = u[m](x)$, то} \\ \text{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad выход из цикла по $s$}\\ \text{\qquad \qquad \qquad \qquad иначе} \\ \text{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$t := t + 1$}\\ \text{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$u[t](x) := h(x)$}\\ \text{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$u[m](x) := u[m](x)/h(x)$}\\ \text{\qquad \qquad \qquad \qquad конец если }\\ \text{\qquad \qquad \qquad конец если }\\ \text{\qquad \qquad конец цикла} \\ \text{\qquad конец цикла }\\ \text{конец цикла }\\ \text{Конец} \end{equation*}

Заметим, что для сравнительно небольших p (когда мы можем хранить таблицу обратных элементов для всех элементов поля F_p ) сложность алгоритма Берлекэмпа оценивается величиной O(pn^3).

Детализацию этого алгоритма начнем с рассмотрения предписания "базис нуль пространства матрицы \EuScript Q-\EuScript I ".

А29. АЛГОРИТМ (базис_нуль_пространства_матрицы).

\begin{equation} \text{Дано:\quad $\EuScript Q$ - матрица}\\ \text{ \qquad $n$ - размерность матрицы $\EuScript Q$ }\\ \text{Надо:\qquad $r$ - размерность нуль-пространства матрицы $\EuScript Q$}\\ \text{\qquad $v$ - (вектор элементов типа $F_p$ с""}\\ \text{индексом $0..n-1$) с индексом $1..r$, т.е линейно независимые}\\ \text{векторы $v[1],\dots, v[r]$, такие, что $v[j]\cdot\EuScript Q =\vec 0$}\\ \text{записываем $v$ в виде матрицы с индексами $1..r$, $0..n-1$}}} \\ \text{Переменные:\quad $c$ - вектор элементов типа $\mathbb Z$ с индексом $1..n$ }\\ \text{\qquad \qquad $c[j]\ge 0 \iff q_{c[j],j}= -1$,}\\ \text{\qquad \qquad все остальные элементы этой строки = 0} \end{equation}
\begin{equation} \text{Идеи реализации: приведение к треугольному виду операциями }\\ \text{ со столбцами, т.е. переход от $\EuScript Q$ к $\EuScript Q\times B$,} \\ \text{где $B$ - невырожденная матрица }\\ \text{Начало}\\ \text{$r := 0$ }\\ \text{цикл для $j$ от $0$ до $n-1$}\\ \text{\qquad $c[j] := -1$} \\ \text{конец цикла}\\ \text{цикл для $k$ от $0$ до $n-1$\qquad //поиск зависимости строк}\\ \text{\qquad если $\exists j\colon 0\le j<n$, такое, что $\EuScript Q[k,j]\ne0$ и $c[j] <0$, то}\\ \text{\qquad \qquad умножить $j$-ый столбец матрицы $\EuScript Q$ на $-1/Q[k,j]$}\\ \text{\qquad \qquad цикл для $i$ от $0$ до $j-1$ и от $j+1$ до $n-1$}\\ \text{\qquad \qquad \qquad цикл для $l$ от $0$ до $n-1$}\\ \text{\qquad \qquad \qquad \qquad $\EuScript Q[l,i] := \EuScript Q[l,i] + \EuScript Q[k,i]\cdot \EuScript Q[l,j]$}\\ \text{\qquad \qquad \qquad конец цикла}\\ \text{\qquad \qquad \qquad $c[j] := k$}\\ \text{\qquad \qquad \qquad \qquad // эти операции не меняют строк матрицы с}\\ \text{\qquad \qquad \qquad \qquad // номерами $0,1,\dots,k-1$, т.к. $\EuScript Q[s,j] = 0$}\\ \text{\qquad \qquad \qquad \qquad // для всех $s < k$}\\ \text{\qquad \qquad конец цикла}\\ \text{\qquad иначе \qquad // матрица $\EuScript Q$ приведена к ступенчатому виду}\\ \text{\qquad \qquad $r := r+1$ \qquad }\\ \text{\qquad \qquad \qquad \qquad // начинаем нахождение собственных векторов}\\ \text{\qquad \qquad цикл для $j$ от $0$ до $n-1$}\\ \text{\qquad \qquad \qquad $v[r,j] := 0$}\\ \text{\qquad \qquad конец цикла}\\ \text{\qquad \qquad цикл для $s$ от $0$ до $n-1$}\\ \text{\qquad \qquad \qquad $j:= c[s]$}\\ \text{\qquad \qquad \qquad если $j\ge0$, то $v[r,j] :=\EuScript Q[k,s]$ конец если}\\ \text{\qquad \qquad конец цикла}\\ \text{\qquad \qquad $v[r,k] := 1$}\\ \text{\qquad конец если}\\ \text{конец цикла}\\ \text{Конец} \end{equation}
Дальше >>
< Лекция 7 || Лекция 8: 123456 || Лекция 9 >

Вопросы и ответы

вопросов: 1
Марина Подлевских
Марина Подлевских

Пожалуйста, проясните ситуацию. Был выбран курс " Компьютерная алгебра" для самостоятельного изучения. Как теперь записаться на этот курс с целью получения диплома о повышении квалификации? На данный момент он имеет статус " изучаю". Если я пройду экзаменационный тест в таком статусе без оформления документов и оплаты диплома, придется ли еще раз регистрироваться на этот курс и заново проходить тестирование? 

ответить