Московский физико-технический институт
Опубликован: 25.10.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3790 / 1086 | Оценка: 4.50 / 4.33 | Длительность: 24:00:00
ISBN: 978-5-9556-0065-9
Специальности: Программист, Математик

Лекция 10: Численные методы решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений

9.6. Задачи для самостоятельного решения

  1. Модель Филда - Нойса "орегонатор"

    Простейшая математическая модель периодической химической реакции Белоусова - Жаботинского состоит из трех уравнений:

    \begin{gather*}
\dot {y}_1 = 77, 27(y_2 + y_1 (1 - 8, 375 \cdot 10^{- 6} y_1 - y_2 )), \\  
\dot {y}_2 = \frac{1}{{77, 27}}(y_3 - (1 + y_1 )y_2), \\  
\dot {y}_3 = 0, 161(y_1 - y_3 ) 
\end{gather*}

    На то, что система жесткая, указывают большие различия в константах скоростей реакций — есть процессы быстрые и есть медленные.

    Так как переменные системы — концентрации ( HBrO2, Br - и Ce(IV) соответственно) то начальные условия для системы следует выбирать положительными, как правило, близкими к 0. Конечное время интегрирования системы Tk = 800.

    О системе подробнее, например, в [9.8], [9.9], [9.17].

  2. Уравнение Ван - дер - Поля

    Типичным примером жесткой задачи малой размерности является уравнение Ван - дер - Поля [9.8], [9.9], [9.18], [9.19]. Его возможно записать в виде системы

    \begin{gather*}
y^{\prime}_1 = y_2, \\ 
{y^{\prime}_2 = - a(y_2 (y_1^2 - 1) + y_1 ), }
\end{gather*} ( 9.13)

    или в виде

    \begin{gather*}
y^{\prime}_1 = - a(\frac{y_1^3}{3} - y_1) + ay_2,  \\ 
y^{\prime}_2 = - y_1, 
\end{gather*} ( 9.14)

    (представление Льенара). Считаем, что параметр a — большой. В расчетах рассмотреть два случая: a = 103 и a = 106. Для тестов обычно полагают y1 = 2, y2 = 0.

    Конечное время интегрирования системы, записанной в виде (9.13), Tk = 20.

    Периодические решения жестких систем ОДУ иногда называют релаксационными автоколебаниями [9.18], [9.19].

    Дополнительный вопрос: указать преобразование, переводящее представление (9.13) в представление Льенара (9.14).

  3. Система Ван - дер - Поля и траектории - утки

    Рассмотрим неавтономную систему уравнений Ван - дер - Поля:

    \begin{gather*}
y^{\prime}_1 = a(- (\frac{y_1^3}{3} - y_1 ) + y_2), \\  
y^{\prime}_2 = - y_1 + A\cos \omega t 
\end{gather*}

    Как и в предыдущей задаче считаем, что a = 103 и a = 106, y1 = 2, y2 = 0. Рассмотреть численно случаи 0 < A < 1 и

    $  1 < A < \sqrt{1 + \frac{1}{64\omega ^2 }}  $
    Tk = 200.

    О траекториях - утках в системе Ван - дер - Поля см. [9.19] (строгое математическое исследование) и [9.20](популярное изложение).

  4. Суточные колебания концентрации озона в атмосфере

    Рассмотрим простейшую математическую модель колебаний концентрации озона в атмосфере [9.2]. Она описывается следующей неавтономной системой ОДУ:

    \begin{gather*}
\dot {y_1} = - k_1 y_1 y_2 - k_2 y_1 y_3 + 2k_3 (t)y_2 + k_4 (t)y_3  , \\  
\dot {y_2} = 0, \\  
\dot {y_1} = k_1 y_1 y_2 - k_2 y_1 y_3 - k_4 (t)y_3 
\end{gather*}

    В данной модели уравнения описывают изменение концентрации атомарного кислорода, молекулярного кислорода и озона соответственно. Считается, что изменения концентрации молекулярного кислорода невелики. Начальные значения для задачи таковы:

    y_1 (0) = 10^6 (\mbox{см}^{- 3}), y_2 (0) = 3, 7 \cdot 10^{16}(\mbox{см}^{- 3}), y_3 (0) =  10^{12}(\mbox{см}^{- 3}),

    значения констант скоростей химических реакций

    k_1 = 1, 63 \cdot 10^{- 16}, \quad k_2 = 4, 66 \cdot 10^{- 16}.

    Две другие химические реакции зависят от локальной освещенности участка земной поверхности и приближаются следующим выражением:

    k_i (t) = \left\{ \begin{array}{cc}
   \exp (- c_i /\sin \omega t), & \sin \omega t > 0,   \\ 
   0, &\sin \omega t < 0,   \\ 
\end{array} \right.

    где \omega = \pi /43 200c^{- 1}, c3 = 22, 62, c4 = 7, 601. Значения констант скоростей обращаются в нуль ночью, резко возрастают на рассвете, достигают максимума в полдень и падают до нуля на закате. Конечное время интегрирования Tk = 172800 c (двое суток).

    Данная система является жесткой ночью и умеренно жесткой в светлое время суток.

  5. Уравнение Бонгоффера - Ван - дер - Поля

    Рассмотрим еще один пример жесткой задачи малой размерности, имеющей периодическое решение [9.19], [9.21].

    \begin{gather*}
y^{\prime}_1 = a(- (\frac{y_1^3}{3} - y_1 ) + y_2), \\  
y^{\prime}_2 = - y_1 - by_2 + c  
\end{gather*}

    Здесь a = 103 и a = 106, y1 = 2, y2= 0.

    Уравнение описывает протекание тока через клеточную мембрану. Постоянная компонента тока c в безразмерной записи системы такова, что 0 < c < 1, b > 0. Tk = 20.