Московский физико-технический институт
Опубликован: 25.10.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3790 / 1086 | Оценка: 4.50 / 4.33 | Длительность: 24:00:00
ISBN: 978-5-9556-0065-9
Специальности: Программист, Математик

Лекция 10: Численные методы решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений

  1. Сингулярно - возмущенная система — модель двухлампового генератора Фрюгауфа.

    Система более высокой размерности, имеющая решение в виде релаксационного цикла, приведена в [9.18] (см. также [9.21]). Она имеет вид:

    \begin{gather*}
\varepsilon \dot {x}_1 = - \alpha (y_1 - y_2 ) + \varphi (x_1) - x_2, \\  
\varepsilon \dot {x}_2 = \alpha (y_1 - y_2 ) + \varphi (x_2 ) - x_1, \\  
\dot {y}_1 = x_1, \\  
\dot {y}_2 = x_2 .
\end{gather*}

    Здесь \alpha > 0 — константа порядка единицы, функция \varphi (u) = {- \tg(\pi u/2)}, x1(0) = x2(0) = 0, y1 = 2, y2 = 0, Tk = 20, \varepsilon  = 10^{- 3}, 10^{- 6}.

  2. Простейшая модель гликолиза

    Простейшая модель гликолиза описывается уравнениями следующего вида [9.21]:

    \begin{gather*}
\dot {y}_1 = 1 - y_1 y_2, \\  
\dot {y}_2 = \alpha  y_2 \left({y_1 - \frac{{1 + \beta }}{{y_2 + \beta }}}\right), 
\end{gather*}

    предложенными Дж. Хиггинсом. В системе \beta = 10, \alpha = 100, 200, 400, 1000. Начальные условия для системы: y1(0) = 1, y2(0) = 0, 001, Tk = 50. Решение этой системы — релаксационные автоколебания (жесткий предельный цикл).

  3. Пример жесткой системымодель химических реакций Робертсона

    Один из первых и самых популярных примеров жесткой системы ОДУ принадлежит Робертсону (1966) и имеет вид, типичный для моделей химической кинетики — в правой части системы стоят полиномы второй степени от концентраций (сравните с орегонатором).

    Система Робертсона имеет вид [9.9]

    \begin{gather*}
\dot {y}_1 = - 0.04y_1 + 10^4 y_2 y_3, \\ 
\dot {y}_2 = 0.04y_1 - 10^4 y_2 y_3 - 3 \cdot 10^7 y_2^2, \\ 
\dot {y}_3 = 3 \cdot 10^7 y_2^2 .
\end{gather*}

    Начальные условия для системы таковы: y1(0) = 1, y2(0) = 0, y3(0) = 0. Рассматриваются следующие величины отрезка интегрирования: Tk = 40 (в работе Робертсона рассматривался именно такой отрезок интегрирования), Tk = 100, 1000, ..., 1011. О свойствах задачи см. в [9.9].

  4. Модель дифференциации растительной ткани

    Данный пример из [9.9] — типичный случай биохимической модели "умеренной" размерности (современные модели, например, фотосинтеза включают сотни уравнений подобного типа). Хотя данная модель является умеренно жесткой, тем не менее, ее лучше решать с помощью методов, предназначенных для решения ЖС ОДУ.

    \begin{gather*}
\dot {y}_1 = - 1.71y_1 + 0.43y_2 + 8.23y_3 + 0.0007, \\  
\dot {y}_2 = 1.71y_1 - 8.75y_2, \\  
\dot {y}_3 = - 10.03y_3 + 0.43y_4 + 0.035y_5, \\  
\dot {y}_4 = 8.32y_2 + 1.71y_3 - 1.12y_4, \\  
\dot {y}_5 = - 1.745y_5 + 0.43y_6 + 0.43y_7, \\  
\dot {y}_6 = - 280y_6 y_8 + 0.69y_4 + 1.71y_5 - 0.43y_6 + 0.69y_7 , \\  
\dot {y}_7 = 280y_6 y_8 - 1.87y_7 , \\  
\dot {y}_8 = - \dot {y}_7 .
\end{gather*}

    Начальные значения всех переменных системы равны 0, кроме y1(0) = 1 и y8(0) = 0.0057. Длина отрезка интегрирования Tk = 421, 8122.

  5. Задача E5

    Еще одна модель химической реакции из [9.9], получившая свое название Е5 в более ранних публикациях.

    \begin{gather*}
\dot {y}_1 = - {Ay}_1 - {By}_1 y_3, \\  
\dot {y}_2 = {Ay}_1 - {MCy}_2 y_3, \\  
\dot {y}_3 = {Ay}_1 - {By}_1 y_3 - {MCy}_2 y_3 + {Cy}_4, \\  
\dot {y}_4 = {By}_1 y_3 - {Cy}_4 .
\end{gather*}

    Начальные условия: y_1(0) = 1, 76\cdot 10^{- 3}, а все остальные переменные равны 0. Значения коэффициентов модели следующие: A = 7, 89 \cdot 10^{- 10}, B = 1, 1\cdot 10^7, C = 1, 13\cdot 10^3, M = 10^6. Первоначально задача ставилась на отрезке Tk = 1000, но впоследствии было обнаружено, что она обладает нетривиальными свойствами вплоть до времени Tk = 1013 (подробнее см. [9.9]).

    Обратить особое внимание, что в процессе расчетов приходится иметь дело с очень малыми концентрациями реагентов (малы значения y2, y3 и y4 ). Как "подправить" постановку задачи E5?

  6. Уравнение Релея

    Уравнение Релея во многом похоже на уравнение Ван - дер - Поля [9.21]. Рассматривается задача вида

    $ \ddot {x} - \mu (1 - \dot {x}^2 )\dot {x} + x = 0 . $

    Решить задачу, записав уравнение Релея в виде системы ОДУ. Начальные условия: $ x(0) = 0, \dot {x}(0) = 0, 001 $, \mu  = 1000, Tk = 1000.

  7. Экогенетическая модель

    Рассмотрим пример системы уравнений, которая описывает изменения численности популяций двух видов и эволюцию некого генетического признака \alpha. Система ОДУ имеет вид

    \begin{gather*}
\dot {x} = x(1 - 0, 5x - \frac{2}{{7\alpha ^2}}y), \\  
\dot {y} = y(2\alpha - 3, 5\alpha ^2 x - 0, 5y), \\  
\dot {\alpha} = \varepsilon (2 - 7\alpha x) .  
\end{gather*}

    Параметры задачи таковы: \varepsilon \le 0, 01, 0 \le x_0 \le 3, 0 \le y_0 \le 15, 
\alpha_0 = 0, Tk = 1500. Наличие малого параметра в третьем уравнении системы показывает, что генетический признак меняется медленнее, чем численность популяций. Решение системы — релаксационные колебания.

    Задача описана в статье [9.22].

  8. Экогенетическая модель

    Еще один пример жесткой системы описан в статье [9.22]. Более интересный случай — численность двух популяций зависит от взаимодействия между ними и двух медленно меняющихся генетических признаков.

    \begin{gather*}
\dot {x} = x(2\alpha_1 - 0, 5x - \alpha_1^2 \alpha_2^{- 2}y), \\  
\dot {y} = y(2\alpha_2 - \alpha_1^{- 2} \alpha_2^2 x - 0, 5y), \\  
\dot {\alpha}_1 = \varepsilon (2 - 2\alpha_1 \alpha_2^{- 2}y), \\  
\dot {\alpha}_2 = \varepsilon (2 - 2\alpha_1^{- 2} \alpha_2x) .
\end{gather*}

    Параметры задачи таковы: \varepsilon \le 0, 01, 0 \le x_0 \le 40, 0 \le y_0 \le 40, 
\alpha_{10} = 0, \alpha_{20} = 10, Tk = 2000.

    Рассмотреть также модификацию предыдущей системы [9.22]:

    \begin{gather*}
\dot {x} = x(2\alpha_1 - 0, 5x - \alpha_1^3 \alpha_2^{- 3}y), \\  
\dot {y} = y(2\alpha_2 - \alpha_1^{- 3} \alpha_{2 }^3 x - 0, 5y), \\  
\dot {\alpha}_1 = \varepsilon (2 - 3\alpha_1^2 \alpha_2^{- 3}y), \\  
\dot {\alpha}_2 = \varepsilon (2 - 3\alpha_1^{- 3} \alpha_2^2x) .
\end{gather*}

    Параметры задачи: \varepsilon \le 0, 01, 0 \le x_0 \le 40, 0 \le y_0 \le 40, 
\alpha_{10} = 0, \alpha_{20} = 10, Tk = 2000.