Московский физико-технический институт
Опубликован: 25.10.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3863 / 1151 | Оценка: 4.50 / 4.33 | Длительность: 24:00:00
ISBN: 978-5-9556-0065-9
Специальности: Программист, Математик
Лекция 2:

Предмет вычислительной математики. Обусловленность задачи, устойчивость алгоритма, погрешности вычислений. Задача численного дифференцирования

1.8. Задачи для самостоятельного решения

  1. Найти абсолютную предельную погрешность, погрешность по производной и линейную оценку погрешности для функций u = sin t,
    u = \frac{1}{t^2  - 5t + 6}.

    Заданы точка приближения t = t* и погрешность \Delta  t.

  2. Определить шаг \tau, при котором погрешность вычисления производной u'(t), приближенно вычисляемой в соответствии с формулами

    u^{\prime}(t)  \approx  \frac{f(t + \tau ) - f(t)}{\tau }, \\
u^{\prime}(t)  \approx  \frac{f(t + \tau ) - f(t - \tau )}{2\tau } ,

    не превосходит 103. Известно, что \left|{u^{\prime\prime}(t)}\right| \le 1,\quad \left|{u^{\prime\prime\prime}(t)}\right| \le 1 для любых t.

  3. Пусть для вычисления функции u = f(t) используется частичная сумма ряда Маклорена

    $ u(t)  \approx  u(0) + \frac{u^{\prime}(0)}{1!}t +  \ldots  + \frac{u^{(n)}(0)}{n!}t^n $
    ,

    причем аргумент задан с погрешностью \Delta  t = 10^{ -3}.

    Найти n такое, чтобы погрешность в определении функции u(y) по данной формуле не превышала \Delta  t. Рассмотреть отрезки t \in [0,1],\quad t \in [10,11] .

    Предложить более совершенный алгоритм для вычисления функций u(t) = sin t, u(t) = et на отрезке t \in [10,11] .

  4. Определить оптимальный шаг численного дифференцирования \tau при использовании для вычисления производной приближенной формулы

    u^{\prime}(t)  \approx  \frac{u(t - 2\tau ) - 8(t - \tau ) + 8(t + \tau ) - u(t + 2\tau )}{12t},

    имеющей четвертый порядок точности, если известно, что \left|{u^{(5)}(t)}\right| \le M_5, а значения функций вычисляются с точностью \varepsilon.

  5. Вычислить относительную погрешность в определении значения функции u(x,y,z) = x2y2/z4, если заданы
    x^{*} = 37,1, y^{*} = 9,87, z^{*} = 6,052, \Delta (x^{*}) = 0,1; 
\\
\Delta (y^{*}) = 0,05; \Delta (z^{*}) = 0,02.