Московский физико-технический институт
Опубликован: 25.10.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3863 / 1151 | Оценка: 4.50 / 4.33 | Длительность: 24:00:00
ISBN: 978-5-9556-0065-9
Специальности: Программист, Математик
Лекция 2:

Предмет вычислительной математики. Обусловленность задачи, устойчивость алгоритма, погрешности вычислений. Задача численного дифференцирования

1.7. Задачи

  1. Найти абсолютную предельную погрешность, погрешность по производной, линейную погрешность для функции u = t10, если заданы точка приближения t* = 1, значение функции u* в этой точке и погрешность \Delta t^{*} = 10^{ -1}.

    Решение : обозначим

    b=\sup\limits_{\mid{t - 1} \mid \le 0,1} 
\left|{u^{\prime}_t (t)}\right| = \sup\limits_{\mid{t - 1}\mid \le 0.1} 10 \cdot t^9 = 10 \cdot {(1,1)}^9   \approx  \\ 
 \approx  23, \ldots

    Абсолютная предельная погрешность может быть определена как

    D(u^*) = \sup\limits_{\mid {t - 1}\mid \le 0,1} \left|{t^{10} - 1}\right| = {(1.1)}^{10} -  1  \approx  1,5  \ldots

    Оценка погрешности u при вычислении значения функции по максимуму производной и линейная оценка соответственно будут D_{1}(u^{*}) = b\Delta (t^{*}) = 2,3 ...; D_{2}(u^{*}) = |\gamma (0)|\Delta (t^{*}) = 1.

  2. Дать линейную оценку погрешности при вычислении неявной функции \varphi (u,t_1,t_2, \ldots ,t_n) = 0, если известны точка приближения \{ t_1^*, \ldots ,t_n^* \}, значение функции в точке приближения u* и погрешность в определении аргументов \Delta t_1^*, \ldots ,\Delta t_{n}^* .

    Решение. Дифференцируя по tj, получим

    $ \frac{\partial \varphi }{\partial u} \frac{\partial u}
{\partial t_j} + \frac{\partial \varphi }{\partial t_j} = 0, $

    откуда

    $ \frac{\partial u}{\partial t_j} =  - (\frac{\partial \varphi }{\partial t_j})(\frac{\partial \varphi }{\partial u})^{ - 1}.  $

    При заданных \{ t_1^*, \ldots ,t_n^* \}, можно найти u* как корень уравнения \varphi (u,t_1 ,t_2 , \ldots ,t_{n} ) = 0 , а затем — значения

    $ b_j(0) = \left. { - (\frac{\partial \varphi }{\partial t_j })(\frac{\partial \varphi }{\partial u})^{ - 1} } \right|_{(u^*,t_1^* , \ldots ,t_n^* )} , $

    откуда можно получить линейную оценку погрешности функции D2(u*).

  3. Вычислить относительную погрешность в определении значения функции
    u = xy^{2}z^{3}, \  если \ x^{*} = 37,1, y^{*} = 9,87, z^{*} = 6,052, \Delta x^{*} = 0,3, \Delta y^{*} = 0,11, 
\\
\Delta z^{*} = 0,016.

    Решение:

    $ \delta_x = \frac{0.3}{37.1}  \approx  0.81 \cdot 10^{ - 2}, 
\delta_y = \frac{0,11}{9,87}  \approx  1,12 \cdot 10^{ - 2}, 
\delta_z = \frac{0,016}{6,052}  \approx  0,26 \cdot 10^{ - 2}, \\ 
\delta (u) = \delta (x^*) + 2\delta (y^*) + 3\delta (z^*) = 3.8 \cdot 10^{ - 2} . $
  4. Оценить погрешность в определении корней квадратного уравнения \varphi (u,t_1,t_2) = u^2  + t_1 u + t_2  = 0, если заданы приближения t_1^*,t_2^*,\Delta (t_1^*),\Delta (t_2^*).

    Пусть u* — решение уравнения

    u*^2  + t_1^*u^* + t_2^*  = 0.

    Из формулы

    $ b_j(0) = \left. { - (\frac{d\varphi }{dt_j})(\frac{d\varphi }{du})^{ - 1}}\right|_{(u^*,t_1^* , \ldots ,t_{n}^*)}$

    получим

    $ b_1 (0) = \left. {\frac{du}{dt_1 }} \right|_{(t_1^*,t_2^* )}  =  - \frac{u^*}{2u^* + t_1^*}, \\
b_2 (0) = \left. {\frac{du}{dt_2 }} \right|_{(t_1^*,t_2^* )}  =  - \frac{1}{2u^* + t_1^* }.$

    Следовательно, линейная оценка будет

    $ D_2 (u^*) = \frac{\left|{u^*}\right| \cdot \Delta (t_1^*) + 
\Delta (t_2^* )}{\left|{2u^* + t_1^*}\right|}.$