НОУ ИНТУИТ | Структуры данных и модели вычислений. Лекция 13: Формальные языки

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 26.09.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 1817 / 511 | Оценка: 4.25 / 4.12 | Длительность: 17:09:00

ISBN: 978-5-9556-0066-6

Тема: Алгоритмы и дискретные структуры

Специальности: Программист, Математик

|

Вам нравится? Нравится 20 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Автоматное задание языков

Недетерминированные конечные автоматы с $\varepsilon$ -переходами. Недетерминированным конечным автоматом с $\varepsilon$ -переходами над алфавитом называется набор

$\eq*{ {\Re} = (Q, A, q_0, F, \varphi), }$

где — множество состояний, — алфавит, q_0 — начальное состояние $(q_0 \in Q)$ , — множество финальных состояний ( $F \subseteq Q)$ и $\varphi\colon Q \x (A\cap \{\varepsilon\}) \to 2^Q$ — переходная функция.

Такой автомат можно представить нагруженным ориентированным мультиграфом (диаграммой) следующим образом. Вершинами графа объявить состояния, то есть элементы множества , и если $q'\in \varphi (q, x)$ , то из состояния в состояние провести дугу, помеченную символом $x \in (A \cup \{\varepsilon\})$ .

Язык $L(\Re)$ , порождаемый автоматом $\Re$ , состоит из всех слов, которые можно прочитать, двигаясь, начиная со стартового состояния q_0 , по ребрам и читая приписанные им символы. Чтение заканчивается в любом из финальных состояний множества не обязательно при первом попадании туда. При чтении символов следует воспринимать $\varepsilon$ как пустое слово.

Пример. Пусть алфавит $A = \{a, b, c\}$ , $Q = \{q_0, q_1, q_2\}$ , $F = \{q_1\}$ и переходная функция $\varphi$ задана таблицей

$\varepsilon$
$\{q_1\}$	$\{q_1,q_2\}$	$\varnothing$	$\varnothing$
$\varnothing$	$\varnothing$	$\{q_0\}$	$\{q_0\}$
$\{q_1\}$	$\varnothing$	$\varnothing$	$\varnothing$

Диаграмма автомата изображена на рис. 13.1

Рис. 13.1.

Недетерминированные конечные автоматы без $\varepsilon$ -переходов. Недетерминированным конечным автоматом без $\varepsilon$ -переходов над алфавитом называется набор

$\eq*{ \Re = (Q, A, q_0, F, \varphi), }$

где — множество состояний, — алфавит, q_0 — начальное состояние $(q_0 \in Q)$ , — множество финальных состояний $(F \subseteq Q)$ и ${\varphi\colon Q \x A \to 2^Q}$ — переходная функция. Такой автомат также можно представить нагруженным ориентированным мультиграфом (диаграммой). Отличие в том, что дуги теперь могут быть помечены только символами алфавита .

Язык $L(\Re)$ , порождаемый таким автоматом $\Re$ , состоит из всех слов, которые можно прочитать, двигаясь, начиная со стартового состояния q_0 , по ребрам и читая приписанные им символы. Чтение заканчивается в любом из финальных состояний множества не обязательно при первом попадании туда.

Детерминированные конечные автоматы. Детерминированным конечным автоматом над алфавитом называется набор

$\eq*{ \Re = (Q, A, q_0, F, \varphi), }$

где

— множество состояний,

— алфавит, q_0

— начальное состояние $(q_0 \in Q)$ ,

— множество финальных состояний $(F \subseteq Q)$ и $\varphi\colon Q \x A \to Q$ — переходная функция.

Такой автомат также можно представить нагруженным ориентированным мультиграфом (диаграммой). Отличие от недетерминированного автомата состоит в том, что из каждого состояния выходит ровно одна дуга, помеченная конкретной буквой алфавита .

Язык $L(\Re)$ , порождаемый таким автоматом $\Re$ , определяется аналогично тому, как это было для недетерминированных автоматов.

Теорема. Классы языков, задаваемые детерминированными конечными автоматами, недетерминированными конечными автоматами с $\varepsilon$ -переходами, недетерминированными конечными автоматами без $\varepsilon$ -переходов, регулярными выражениями совпадают.

Доказательство. Для доказательства достаточно по регулярному выражению научиться строить равносильный недетерминированный конечный автомат с $\varepsilon$ -переходами (синтез), затем избавляться от $\varepsilon$ -переходов, затем детерминировать и, наконец, по детерминированному автомату строить регулярное выражение (анализ).

Синтез. Регулярное выражение $\varnothing$ представляется автоматом

$\eq*{ \Re = (Q, A, q_0, F, \varphi), }$

где $Q = \{q_0, q_1\}$ , алфавит

— произволен, q_0

— начальное состояние, $F = \{q_1\}$ — множество финальных состояний и переходная функция $\varphi$ задается соотношениями

$\eq*{ (\forall x \in A \cup \{\varepsilon\}) \varphi (q_0, x) = \varnothing,\quad \varphi(q_1, x) = \varnothing.}$

Регулярное выражение $\lm$ представляется автоматом $\Re {=} (Q{,} A{,} q_0{,} F{,} \varphi)$ , где $Q = \{q_0, q_1\}$ , алфавит — произволен, q_0 — начальное состояние, $F = \{q_1\}$ — множество финальных состояний и переходная функция $\varphi$ задается соотношениями $\varphi(q_0, \varepsilon) = \{q_1\}, \varphi(q_1, \varepsilon) = \varnothing$ и ${(\forall x \in A) \varphi (q_0, x) = \varnothing}$ , $\varphi (q_1, x) = \varnothing$ .

Регулярное выражение $(a \in A)$ представляется автоматом $\Re = (Q, A, q_0, F, \varphi)$ , где $Q = \{q_0, q_1\}$ , q_0 — начальное состояние, $F = \{q_1\}$ — множество финальных состояний и переходная функция $\varphi$ задается соотношениями $\varphi(q_0, a) = \{q_1\},\ (\forall x \in (A \cup \{\varepsilon \})\backslash \{a\}) \varphi (q_0, x) = \varnothing$ и $(\forall x \in (A \cup \{\varepsilon\})) \varphi (q_1, x) = \varnothing$ .

Для регулярного выражения $(P \vee S)$ , где и — регулярные выражения, можно построить задающий автомат $\Re = (Q, A, q_0, F, \varphi)$ следующим образом. Пусть автомат $\Re_1 = (Q_1, A, q_1, F_1, \varphi_1)$ задает L(P) , а автомат $\Re_2 = (Q_2, A, q_2, F_2, \varphi_2)$ задает L(S) . Не уменьшая общности, можно считать, что $F_1 = \{f_1\}$ и $F_2 = \{f_2\}$ — одноэлементные и что $q_1 \ne f_1$ , $q_2 \ne f_2$ . Положим $Q = Q_1 \cup Q_2 \cup \{q_0, f\}$ , где q_0 , — новые состояния, и поясним построение автомата $\Re$ на языке диаграмм. Состояние q_0 соединим дугами со стартовыми состояниями q_1 , q_2 автоматов $\Re_1$ , $\Re_2$ и пометим их символом $\varepsilon$ . Состояния f_1 и f_2 автоматов $\Re_1$ , $\Re_2$ соединим дугами с новым состоянием и также пометим их символом $\varepsilon$ . Начальным состоянием построенного автомата объявим q_0 , а финальным — .