НОУ ИНТУИТ | Структуры данных и модели вычислений. Лекция 13: Формальные языки

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 26.09.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 1817 / 511 | Оценка: 4.25 / 4.12 | Длительность: 17:09:00

ISBN: 978-5-9556-0066-6

Тема: Алгоритмы и дискретные структуры

Специальности: Программист, Математик

|

Вам нравится? Нравится 20 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Способы задания формальных языков

Прежде всего, для задания формального языка может подойти любое математически корректное определение множества слов в заданном алфавите. Однако если иметь в виду задание, при котором возможно алгоритмическое решение вопроса о принадлежности слова языку, то нужны средства более ограниченные. Наиболее общим из конструктивных способов задания языков является способ, использующий так называемые формальные грамматики.

Формальной грамматикой для порождения формального языка в алфавите называется набор

$\eq*{ G = (A, B, S, P), }$

где

— алфавит терминальных (основных) символов;

— алфавит нетерминальных (вспомогательных) символов, $A \cap B = \varnothing$ ;

— стартовый символ, $S \in B$ ;

— конечный набор правил вывода. Каждое правило вывода имеет вид $\varphi \to \psi$ , где $\varphi$ , $\psi$ — слова в объединенном алфавите $A \cup B$ , причем $\varphi$ содержит хотя бы один символ из алфавита

.

Правило $\varphi \to \psi$ применимо к слову , если $\varphi$ является фрагментом слова . Результатом применения этого правила к слову называется слово , полученное заменой любого фрагмента $\varphi$ в слове на слово $u \Rightarrow v$ .

Если — результат применения некоторого правила к слову , то пишем $u \Rightarrow v$ .

Если $u \Rightarrow v_1 \Rightarrow v_2 \Rightarrow \ldots \Rightarrow v_n \Rightarrow v$ , то пишем $u \Rightarrow \Rightarrow v$ .

Язык L(G) , порождаемый грамматикой , определяется следующим образом:

$\eq*{ L(G) = \{v\, |\, v \in A^\ast,\ S \Rightarrow\Rightarrow v\}. }$

Другими словами, L(G)

— множество слов в основном алфавите, которые могут быть получены из стартового символа

путем конечного числа применений правил грамматики.

Классификация Хомского:

Грамматики типа — это грамматики, не имеющие ограничений на вид правил.
Грамматики типа — это грамматики, в которых правила имеют вид $\varphi_1 X \varphi_2 \to \varphi_1 v \varphi_2$ , где — нетерминальный символ, а $\varphi_1$ , $\varphi_2$ , — слова в объединенном алфавите. Слова $\varphi_1$ , $\varphi_2$ называются контекстом правила. Эти грамматики (и языки, порождаемые ими) называются контекстными, так как в описанном правиле символ заменяется словом , если находится в контексте $\varphi_1$ , $\varphi_2$ .
Грамматики типа — это грамматики, в которых правила имеют вид $X \to v$ , где — нетерминальный символ, а — непустое слово в объединенном алфавите. Эти грамматики (и языки, порождаемые ими) называются контекстно-свободными.
Грамматики типа — это грамматики, в которых правила имеют вид $X \to v$ , где — нетерминальный символ, а может иметь вид либо , либо , где — символ основного алфавита, а — вспомогательного. Языки, порождаемые грамматиками типа , называются регулярными.

Известно, что класс языков, задаваемых грамматиками типа , является классом рекурсивно перечислимых языков, не совпадающим с классом рекурсивных языков. На языке теории алгоритмов это означает, что не существует алгоритма, который по любой грамматике типа 0 и любому слову отвечает на вопрос " $u \in L(G)$ ?". С другой стороны, существует алгоритм, который, получив на входе грамматику и слово , ответит "да", если $u \in L(G)$ , в противном случае он либо ответит "нет", либо будет работать бесконечно.

Классы языков, задаваемых грамматиками типа , , , являются классами рекурсивных языков.

Альтернативный способ задания формальных языков — их описание с помощью различных видов автоматов. Одним из простейших классов языков, имеющих большое прикладное значение, является класс регулярных языков, допускающих описание и с помощью конечных автоматов, и с помощью аналитических выражений.

Регулярные выражения

Регулярные выражения — это аналитический (формульный) способ задания регулярных языков.

Определение. Регулярным выражением над алфавитом называется выражение, построенное по следующим правилам:

$\varnothing$ — регулярное выражение;
$\lm$ — регулярное выражение;
— регулярное выражение, если $a \in A$ ;
$(P \vee S)$ — регулярное выражение, если и — регулярные выражения;
$(P\cdot S)$ — регулярное выражение, если и — регулярные выражения;
$P^\ast$ — регулярное выражение, если — регулярное выражение.

Регулярное выражение задает язык L(R) в соответствии со следующими правилами:

$L(\varnothing)$ — пустой язык;
$L(\lm)$ — язык, состоящий из одного пустого слова;
— язык, состоящий из одного однобуквенного слова ;
$L((P \vee S)) = L(P) \cup L(S)$ ;
$L((P\cdot S)) = L(P)L(S)$ ;
$L(P^\ast) = (L(P))^\ast$ .

Пример. Рассмотрим регулярное выражение $R = (ab \vee ac)^\ast (a \vee \lm)$ над алфавитом $A = \{a, b, c\}$ . Язык L(R) состоит из слов, в которых на нечетных местах стоит символ , а на четных или .

Замечание 1. В регулярных выражениях вместо знака " $\vee$ " часто используют знак " ".

Замечание 2. Если дополнить правила построения регулярных выражений еще двумя правилами

$(P \cap S)$ — регулярное выражение, если и — регулярные выражения,
$\overline{P}$ — регулярное выражение, если — регулярное выражение, и $L((P\cap S)) = L(P)\cap L(S)$ , а $L(\overline{P})= \overline{L(P)}$ ,

то получим так называемые расширенные регулярные выражения. Здесь дополнение берется до множества всех слов в алфавите . Если не использовать дополнение, то получим полурасширенное регулярное выражение.

Как увидим в дальнейшем, использование расширенных регулярных выражений не расширяет класса регулярных языков.

Замечание 3. Используя описанную выше интерпретацию регулярных выражений, мы будем вместо соотношения $u \in L(R)$ писать $u \in R$ .

Дальше >>

Авторизоваться

Структуры данных и модели вычислений

Формальные языки

Способы задания формальных языков

Регулярные выражения

Вопросы и ответы