НОУ ИНТУИТ | Структуры данных и модели вычислений. Лекция 13: Формальные языки

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 26.09.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 1817 / 511 | Оценка: 4.25 / 4.12 | Длительность: 17:09:00

ISBN: 978-5-9556-0066-6

Тема: Алгоритмы и дискретные структуры

Специальности: Программист, Математик

|

Вам нравится? Нравится 20 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Решение уравнений в словах

Рассмотрим уравнение вида $X = \al \cdot X + \beta$ , где $\al$ и $\beta$ — формальные языки над некоторым алфавитом .

Теорема. Если $\lm \not \in \al$ , то уравнение $X = \al X + \beta$ имеет единственное решение $X= \al^\ast \bt$ . Если $\lm \in \al$ , то $X = \al^\ast (\beta+ \gamma)$ будет решением уравнения $X = \al X + \beta$ при любом $\gamma \in A^\ast$ .

Доказательство. Пусть $\lm \not \in \al$ и X_0 — решение, тогда, подставляя его в уравнение, получим

$\eq*{ X_0 = \al X_0 + \beta = \al(\al X_0 + \beta) + \beta = \al(\al(\al X_0 + \beta) + \beta) + \beta = \al^3X_0 + \al^2 \beta + \al \beta + \beta. }$

Продолжая выполнять подстановки, видим, что при любом $k = 0, 1, 2,\ldots$ выполняется равенство

$\eq{ X_0 = \al_{k+1}X_0 + (\al^k\beta + \al^{k-1}\cdot \beta + \ldots + \al \beta + \beta). }$

( 1)

Покажем сначала, что $\al^\ast \cdot \beta \subseteq X_0$ . Действительно, пусть $u \in \al^\ast \cdot \beta$ , тогда при некотором значении получим $u \in (\al^k \beta +\al^{k-1}\beta + \ldots + \al \beta + \beta)$ и из (1) при таком значении получаем $u \in X_0$ .

Осталось показать, что $X_0 \subseteq \al^\ast\beta$ . Действительно, пусть $u \in X_0$ , тогда при любом

$\eq*{ u \in \al^{k+1} \cdot X_0 + (\al^{k}\beta +\al^{k-1}\beta + \ldots + \al \beta + \beta). }$

Но так как $\lm \not \in \al$ , то при достаточно больших значениях каждое слово в множестве $\al^{k+1}\cdot X_0$ будет длиннее слова и, следовательно, ${u \not \in \al^{k+1} \cdot X_0}$ , но тогда при таких

$\eq*{ u \in (\al^k \beta +\al^{k-1}\beta + \ldots + \al \beta + \beta) \subseteq \al^\ast\beta. }$

Следовательно, $u \in \al^\ast\beta$ . Итак, мы показали, что если X_0 — решение, то оно задается формулой $X_0 = \al^\ast \beta$ , то есть является единственным. Тот факт, что $\al ^\ast \beta$ на самом деле — решение, проверяется простой подстановкой. Второе утверждение теоремы предоставляем доказать читателю.

Замечание. Если в уравнении $X = \al X + \beta$ под $\al$ и $\beta$ понимать регулярные выражения, то в случае $\lm \not \in L(\al)$ его единственным решением будет регулярное выражение $\al^\ast \beta$ .

В случае, когда $L(\al)$ содержит $\lm$ , уравнение имеет бесконечно много решений вида $X = \al^\ast(\beta + \gamma)$ , но здесь под $\gamma$ можно понимать не только регулярные выражения, но и выражения в каком-либо формализме, задающие произвольный язык. Часто в таком случае интересуются наименьшим по включению решением, так называемой "наименьшей неподвижной точкой".

Системы линейных уравнений с регулярными коэффициентми. Под стандартной системой понимают систему вида

$\eq*{ \left\{\begin{aligned} & X_{1} =\alpha_{11} X_{1} +\alpha_{12} X_{2} +\ldots +\alpha_{1n} X_{n} +\beta_{1}, \\ & X_{2} =\alpha_{21} X_{1} +\alpha_{22} X_{2} +\ldots +\alpha_{2n} X_{n} +\beta_{2}, \\ & \mdots{6cm} \\ & X_{n} =\alpha_{1n} X_{1} +\alpha_{1n} X_{2} +\ldots +\alpha_{nn} X_{n} +\beta_{n}, \end{aligned}\right. }$

где $\al_{ij}$ , $\beta_i$ — регулярные выражения, X_i — переменные ( $i, j = 1, 2\dts n$ ).

Решением системы называется набор $(L(X_1), L(X_2)\dts L(X_n))$ формальных языков, которые при подстановке вместо соответствующих переменных в уравнения обращают их в равенства. Удобно на решение смотреть как на отображение , которое каждой переменной X_i ставит в соответствие язык L(X_i) . Решение L^1 называется наименьшей неподвижной точкой системы, если для любого другого решения выполняются соотношения $L^1(X_i) \subseteq L(X_i)$ при $i = 1, 2\dts n$ .

Теорема. Каждая стандартная система уравнений имеет единственную неподвижную точку.

Доказательство. Действительно, нетрудно видеть, что отображение L^1 , определяемое по формулам $L^{1} (X_{i})=\bigcap\limits_{L} L(X_{i})$ , где пересечение берется по всем решениям ( $i = 1, 2\dts n)$ , является искомой неподвижной точкой системы.

Решаются такие системы уравнений методом исключения неизвестных. Если, например, $\al_{11} \ne \varnothing$ , то первое уравнение можно представить в виде $X_1 = \al_{11}X_1 + \beta$ , где $\beta = \al_{12}X_2 + \ldots +\al_{1n}X_n + \beta_1$ , записать его решение описанным выше способом в виде $(\al_{11})^\ast \beta$ и подставить в остальные уравнения. Получим систему с меньшим числом неизвестных и так далее.

Дальше >>

Авторизоваться

Структуры данных и модели вычислений

Формальные языки

Решение уравнений в словах

Вопросы и ответы