Формальные языки

Применение конечных автоматов в программировании

Задача. По заданному регулярному выражению над алфавитом найти в тексте наименьший префикс, содержащий слово из .

Решение. Строится регулярное выражение и для него — недетерминированный конечный автомат с -переходами. Пусть это будет автомат . Если при чтении текста построенным автоматом мы приходим в финальное состояние, то это означает, что мы прочитали префикс текста , содержащий слово из языка .

Алгоритм, моделирующий работу недетерминированного конечного автомата с -переходами на входном слове .

Оценим трудоемкость приведенного алгоритма. Пусть , тогда тело цикла оценивается как , а тело цикла " " как и весь алгоритм имеет трудоемкость .

Анализируя алгоритм построения автомата с -переходами по регулярному выражению , легко установить следующие свойства:

• , где — длина выражения с учетом скобок и символов операций;
• ;
• ;
• .

Учитывая приведенные свойства, можем теперь оценить алгоритм, моделирующий работу автомата , величиной .

Рассмотрим теперь задачу, частную по отношению к рассмотренной выше, полагая, что вместо регулярного выражения задано одно слово-образец .

Задача. Требуется найти вхождение заданного слова-образца в слово-текст или установить, что такого вхождения нет.

Определение. По данному образцу определим функцию следующим образом: — наибольший префикс слова , являющийся суффиксом слова .

Очевидно, что .

Утверждение 4. Для любой строки и любого символа .

Действительно, предположим, что и , тогда , а будет префиксом и суффиксом строки , причем , что противоречит определению .

Утверждение 5. Пусть , тогда для любого символа .

Действительно, по предыдущему утверждению, , поэтому значение не изменится, если от строки оставить последние символов, а именно . Построим по слову-образцу конечный автомат

Утверждение 6. Прочитав текст , автомат будет находиться в состоянии .

Алгоритм вычисления функции переходов:

Пример. Пусть алфавит и . Допустим, что, читая текст , мы обнаружили некоторый префикс слова , заканчивающийся фрагментом , который является префиксом слова , а следующий символ в тексте не равен , то есть не совпадает с очередным символом слова . Считаем, что потерпели неудачу, но при этом заметим, что суффикс этого фрагмента является его префиксом и, возможно, он является префиксом некоторого вхождения слова в .

Делая такое предположение, продолжаем читать , сравнивая очередные символы слова с соответствующими, начиная с третьего, символами слова в надежде на этот раз обнаружить его вхождение в .

Таким образом, читая , будем считать, что мы в каждый момент находимся в некотором состоянии , если только что прочитан префикс слова длины . Если при чтении следующего символа мы терпим неудачу, то переходим в новое состояние , такое, что — максимальный префикс слова , являющийся его суффиксом. Функцию, которая состоянию ставит в соответствие , называют функцией откатов. В нашем примере ее можно изобразить следующей диаграммой.

Рис. 13.3.