Статистика нечисловых данных

Теорема 2. Пусть - топологическое пространство, непрерывная (в топологии произведения) функция неотрицательна, симметрична (т.е. для любых и из ), существует число такое, что при всех из

( 5)

Пусть в существует точка такая, что при любом положительном множество является бикомпактным. Пусть для случайного элемента , согласованного с топологией в рассмотренном выше смысле, существует .

Тогда существуют (т.е. непусты) математическое ожидание и эмпирические средние .

Замечание. Условие (5) - некоторое обобщение неравенства треугольника. Например, если - метрика в , а при некотором натуральном , то для выполнено соотношение (5) с .

Доказательство. Рассмотрим функцию , определенную формулой (4). Имеем

( 6)

Поскольку по условию теоремы существует, а потому конечно, то из оценки (6) следует существование и конечность при всех из . Докажем непрерывность этой функции.

Рассмотрим шар (в смысле меры различия ) радиуса с центром в :

В соответствии с условием теоремы как подпространство топологического пространства является бикомпактным. Рассмотрим произвольную точку из . Справедливо разложение

где - индикатор множества . Следовательно,

( 7)

Рассмотрим второе слагаемое в (7). В силу (5)

( 8)

Возьмем математическое ожидание от обеих частей (8):

( 9)

В правой части (9) оба слагаемых стремятся к 0 при безграничном возрастании : первое - в силу того, что

второе - в силу того, что распределение случайного элемента сосредоточено на и

Пусть - такая окрестность (т.е. открытое множество, содержащее ), для которой

Имеем

( 10)

В силу (9) и (10) при безграничном возрастании

( 11)

равномерно по . Пусть таково, что левая часть (11) меньше при и, кроме того, . Тогда при

( 12)

Нас интересует поведение выражения в правой части формулы (12) при . Рассмотрим - сужение функции на замыкание декартова произведения множеств , и случайный элемент Тогда

при , а непрерывность функции была доказана в теореме 1. Последнее означает, что существует окрестность точки такая, что

( 13)

при . Из (12) и (13) вытекает, что при

что и доказывает непрерывность функции .

Докажем существование математического ожидания . Пусть таково, что

( 14)

Пусть - некоторая константа, значение которой будет выбрано позже. Рассмотрим точку из множества - дополнения , т.е. из внешности шара радиуса с центром в . Пусть Тогда имеем

откуда

( 15)

Выбирая достаточно большим, получим с учетом условия (14), что при справедливо неравенство

( 16)

Можно выбрать так, чтобы правая часть (16) превосходила

Сказанное означает, что достаточно искать внутри бикомпактного множества . Из непрерывности функции вытекает, что ее минимум достигается на указанном бикомпактном множестве, а потому - и на всем . Существование (непустота) теоретического среднего доказана.

Докажем существование эмпирического среднего . Есть искушение проводить его дословно так же, как и доказательство существования математического ожидания , лишь с заменой 1/2 в формуле (16) на частоту попадания элементов выборки в шар , каковая, очевидно, стремится к вероятности попадания случайного элемента в , большей 1/2 в соответствии с (14). Однако это рассуждение показывает лишь, что вероятность непустоты стремится к 1 при безграничном росте объема выборки. Точнее, оно показывает, что

Поэтому пойдем другим путем, не опирающимся к тому же на вероятностную модель выборки. Положим

( 17)

Если входит в дополнение шара , то аналогично (15) имеем

( 18)

При достаточно большом из (17) и (18) следует, что

Следовательно, достаточно искать на . Заключение теоремы 2 следует из того, что на бикомпактном пространстве минимизируется непрерывная функция.

Теорема 2 полностью доказана.