НОУ ИНТУИТ | Рынок как система обслуживания случайных потоков. Лекция 5: Обслуживание полнодоступной группы потребителей от группы с ограниченным числом партий товаров (формула Энгсета)

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 26.10.2016 | Уровень: для всех | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 21 студенту

| Поделиться |

Поддержать программу

Ключевые слова: вероятность, параметр, отрезок, выражение, математическим ожиданием, значение, связь, бесконечное множество, автор

5.1. Постановка задачи

Определим три основных элемента математической модели (рис. 5.1):

Рис. 5.1. Модель рынка для примитивного потока

Дано:

Основная система - рынок, который обслуживает $\nu$ групп потребителей, к которым равнодоступны поступающие партии товаров.
На рынок поступает случайный примитивный поток n партий товаров с параметром $\lambda _i$ . При этом вероятность поступления новых партий числа в рассматриваемый момент времени будет зависеть от числа обслуженных (проданных) партий товаров.

Напомним ( "Математическая модель рынка" , раздел 1.2.1), что примитивным называется такой симметричный поток, параметр которого $\lambda _i$ прямо пропорционален числу неприобретённых в данный момент партий товаров:

$\lambda _i=(n-i)\alpha$

где - общее число партий товаров;

- число проданных партий товаров;

$\alpha$ - параметр потока группы партий в свободном состоянии -когда не продано ни одной группы товаров (при этом имеет место естественное предположение, что проданная партия товаров не может быть снова предложена для продажи).

Примитивный поток характерен, для рынка с малым числом производителей (небольшой величиной предложения), когда каждая покупка (потребление) снижает величины предложения.

Как и прежде, будем предполагать, что длительность потребления, подчиняется показательному закону распределения с параметром $\beta$ :

$F_2(t) =P(t_{обсл} < t) =1-e^{-\beta \cdot t}$
В качестве дисциплины обслуживания примем обслуживание с

явными потерями.

Требуется найти вероятность приобретения любых товаров из общего числа $\nu$ в фиксированный момент времени.

5.2. Вывод формулы Энгсета

Вспомним процесс рождения и гибели - частный случай Марковского процесса.

Рис. 5.2. Диаграмма процесс гибили и размножения

$P_i=\frac{\lambda _1 \cdot \lambda _2 \cdot \lambda _3 \cdot … \lambda _{i-1}}{\nu _1 \cdot \nu _2 \cdot \nu _3 \cdot … \nu _i}\cdot P_0$ $\sum\nolimits_{j=0}^{\infty }P_i=1$

Рассмотрим систему в стационарном режиме. Определим $\lambda _i$ и $\nu _i$ для рассматриваемой модели.

Обозначим через $\alpha$ вероятность поступления хотя бы одной партии товара от оставшейся группы товаров на отрезке $\Delta t$ при $\Delta t \to 0$ (параметр группы производителей). В состоянии системы xi из n групп товаров осталось n -i групп. Следовательно, вероятность поступления партии товара в состоянии системы x_i за $\Delta t$ :

$\Delta \cdot \lambda _i=(n-i)\cdot \alpha$ , то есть $\lambda _i=(n - i)\cdot \alpha$ ;

где $\alpha$ - параметр группы оставшихся производителей.

Вероятность освобождения одной группы за отрезок $\Delta t$ равна:

$\Delta t \cdot \nu 1=\beta \cdot \Delta t$

В состоянии x_i занято групп потребителей. Вероятность освобождения одной группы потребителей (или первой, или второй, …, или -той) равна:

$\Delta t \cdot \nu _i=i\cdot \beta \cdot \Delta t$ , то есть $\nu _i=i\cdot \beta$ .

Для такой модели вероятность перехода в следующее состояние зависит

от предыдущего состояния, но не зависит от того, как система оказалась в этом предыдущем состоянии, то есть процесс Марковский.

Подставив в выражение для P_i вместо $\lambda _i$ и $\nu _i$ их значения $\alpha$ и $\beta$ , получим:

$P_i=\frac{\lambda _1 \cdot \lambda _2 \cdot \lambda _3 \cdot … \lambda _{i-1}}{\nu _1 \cdot \nu _2 \cdot \nu _3 \cdot … \nu _i}\cdot P_0=\frac{N\cdot \alpha \cdot (N-1)\cdot \alpha \cdot … \cdot [N-(i-1)]}{\beta \cdot 2\beta \cdot 3\beta \cdot … \cdot i\cdot \beta}\cdot P_0=…=\frac{N\cdot \alpha \cdot (N-1)\cdot \alpha \cdot … \cdot [N-(i-1)]}{i!}\cdot \frac{\alpha ^i}{\beta ^i}\cdot P_0=C_N^i \cdot (\frac{\alpha}{\beta})^i \cdot P_0$ ,

где $C_N^i=\frac{N!}{(N-1)!i!}$

P_0 определим из условия $\sum\nolimits_{j=0}^{\nu} P_i=1$

В теории массового обслуживания часто пользуются следующим приёмом: для простоты записи выражений длительность занятия одной группы потребителей выражают в единицах средней длительности потребления, то есть принимают $\frac{1}{\beta}=1$ .