Рынок как система обслуживания случайных потоков

:

Рынок как система обслуживания случайных потоков
[+]
Опубликован: 26.10.2016 | Уровень: для всех | Доступ: платный
Лекция 5:

Обслуживание полнодоступной группы потребителей от группы с ограниченным числом партий товаров (формула Энгсета)
A
|
версия для печати
< Лекция 4 || Лекция 5: 12345 || Дополнительный материал  >

5.3. Типы потерь при обслуживании потока от ограниченного числа источников

  1. Потери по времени P_t (N) по определению представляют собой долю времени, в течение которого заняты все \nu групп потребителей:

    P_t(N)=P_{\nu }\frac{C_N^{\nu }\alpha ^{\nu }}{\sum\nolimits_{i=0}^{\nu }C_N^i\alpha ^i ;}=\frac{\frac{N}{N-\nu }C_{N-1}^{\nu }\alpha ^{\nu }}{\sum\nolimits_{i=0}^{\nu }\frac{N}{N-i}C_N^i\alpha ^i;}=\frac{C_{N-1}^{\nu }\alpha ^{\nu }}{\sum\nolimits_{i=0}^{\nu }\frac{N-\nu }{N-i}C_N^i\alpha ^i};

  2. Потери по заявкам - P_{заяв.} = \frac{C_{потр.}}{C_{пост.}}

    где C_{потр.} - потерянные заявки

    C_{пост.} - поступившие заявки

    Потери по заявкам на продажу наступают в том случае, если заняты все \nu потребителей и в это время поступают новые заявки на продажу.

    C_{пот.}=P\nu \cdot \lambda \nu \Delta t, где \lambda \nu =(N-\nu )\cdot \alpha.

    Математическое ожидание числа заявок, поступивших за \Delta t:

    C_{пост.}= \sum\nolimits_{j=0}^{\nu }P_i \cdot \lambda _i \cdot \Delta t_i \cdot \lambda _i \cdot \Delta t, где \lambda _i =(N-i) \cdot \alpha.

    P_{заяв.}=\frac{(P_{\nu }\cdot \lambda _{\nu }\cdot \Delta t)}{ \sum\nolimits_{i=0}^{\nu }P_i \cdot \lambda _i \cdot \Delta t}=\frac{(N-\nu )\alpha \frac{C_N^{\nu }\alpha ^{\nu }}{\sum\nolimits_{i=0}^{\nu }C_N^i\alpha ^i;}}{\sum\nolimits_{i=0}^{\nu }(N-i)\alpha \frac{C_N^i\alpha ^i}{\sum\nolimits_{i=0}^{\nu }C_N^i\alpha ^i;}}=\frac{(N-\nu )C_N^{\nu }\alpha ^{\nu}}{\sum\nolimits_{i=0}^{\nu }(N-i)\alpha C_N^i\alpha ^i}

    Учтём следующее соотношение:

    C_N^i=\frac{N!}{(N-i)!i!}=\frac{N(N-1)!}{(N-i)(N-i-1)!i!}=\frac{N}{(N-i)}\cdot C_{N-1}^i

    Отсюда - C_{N-1}^i=C_N^i\cdot \frac{N-i}{N}

    Разделим числитель и знаменатель выражения для P_{заяв.} на N и

    учитывая полученное выше соотношение, получим:

    P_{заяв.}=\frac{C_{N-1}^{\nu }\alpha ^{\nu }}{ \sum\nolimits_{i=0}^{\nu } C_{N-1}^i\alpha ^i;}\to P_t(N)=P_{товар.}(N+1)

    Р_{заяв.}(n,\alpha, \nu )=p_t(n-1, \alpha, \nu ). Отсюда следует, что р_{заяв.}(n, \alpha, \nu) < p_t(n, \alpha, \nu ), или P_{заяв.} < P_t

  3. Потери по объему товара запишем без доказательства:

    P_{товар.}=\frac{ Y_{пост.}- Y_{обсл.}}{ Y_{пост.}}=\frac{C_{N-1}^{\nu }\alpha ^{\nu }}{ \sum\nolimits_{i=0}^{\nu}C_N^i\alpha ^i; }

    (так как C_N^I > C_{N-1}^I, то P_{товар} < P_{заяв.})

    В общем случае имеет место соотношение:

    P_{товар} < P_{заяв.} < P_t

При практических расчётах удобнее пользоваться не параметром

свободного источника \alpha, а математическим ожиданием и интенсивностью предложения, поступающей от одного источника - a . Соотношение между \alpha и a следующее:

\alpha = \frac{a}{1-a}

Подставим в выражение для P_t вместо \alpha значение интенсивности предложения, поступающей от одного источника a:

P_t=\frac{C_N^{\nu }(\frac{\alpha}{1-\alpha})^{\nu }}{\sum\nolimits_{i=0}^{\nu }C_N^i(\frac{\alpha }{1-\alpha })^i;}\cdot \frac{(1-\alpha)^N}{(1-\alpha)^N }=\frac{C_N^{\nu }\cdot \alpha ^{\nu }(1-\alpha)^{N-\nu }}{\sum\nolimits_{i=0}^{\nu }C_N^i\alpha ^i(1-\alpha )^{N-i};}

Делая аналогичные подстановки в формулы других потерь, получим формулы Энгсета:

\left. \begin{array}{c} P_t=\frac{C_N^{\nu }\cdot \alpha ^{\nu }(1-\alpha)^{N-\nu }}{\sum\nolimits_{i=0}^{\nu }C_N^i\alpha ^i(1-\alpha )^{N-i};} \\ P_{товар}=\frac{C_{N-1}^{\nu }\cdot \alpha ^{\nu }(1-\alpha)^{N-\nu }}{\sum\nolimits_{i=0}^{\nu }C_{N-1}^i\alpha ^i(1-\alpha )^{N-i};} \\ P_{заяв.}=\frac{C_{N-1}^{\nu }\cdot \alpha ^{\nu }(1-\alpha)^{N-\nu }}{\sum\nolimits_{i=0}^{\nu }C_N^i\alpha ^i(1-\alpha )^{N-i};} \\ \end{array} \right\}

При N \to \infty эти формулы в переходят в формулу Эрланга,

а при N \to \infty и \nu \to \infty - в формулу Пуассона.

Формула Энгсета потерь табулирована в книге: Лившиц Б. С, Фидлин Я. В. - "Системы массового обслуживания с конечным числом источников", издательство "Связь", 1968г. V .

В этой книге таблицы по формуле Энгсета приведены в Приложении 2. Эти таблицы приведены из сайта [26]. Для практических целей они требуют расширения.

Расчет по таблицам может проводить следующим образом.

При заданных значениях n, a, v .

  1. определяется P_{товар}=P(n,a,v)
  2. определяется как P_t=P(n+1,a,v)
  3. определяется P_{заяв.}=P_t (1-\frac{v}{n}) (доказательство см. [2.1 формула (4.47)]), т.е. имеет место неравенство P_{товар}<P_{заяв.}<P_t

При рассмотрении таблиц формулы Энгсета [4.6] и первой формулы Эрланга [4.3] следует отметить трактовку символа n.

В таблице Эрланга [4.3] n -это число обслуживающих приборов (групп потребителей).

В таблице Энгсета [4.6] n - это число товаров, предлагаемых в начале поставки.

В таблице Эрланга [4.3] A=na.

Дальше >>
< Лекция 4 || Лекция 5: 12345 || Дополнительный материал  >

Вопросы и ответы

вопросов: 0

Студенты

всего: 15
Елизавета Мокрицкая
Елизавета Мокрицкая
Россия, г. Москва
предложить дружбу
Евгения Чесняк
Евгения Чесняк
Россия, Новый Уренгой
предложить дружбу