Классические и квантовые коды
Симплектические (стабилизирующие) коды [26]
Это аналог классических линейных кодов. Квантовые симплектические коды устроены так же, только вместо контрольных сумм будут использоваться -операторы (
в предыдущих обозначениях).
Зададим, например, таким способом код Шора. Для него ,
. Кодовое подпространство порождено двумя векторами, см. (14.11).
Каким условиям удовлетворяют базисные векторы ?
- Для любых
выполнено
, т.е. каждая строка состоит из повторений одного бита.
- Для любого
выполнено
. Что означает это условие? Оператор
переводит
(остальные строки не меняются). Эти два вектора должны входить вс одинаковыми коэффициентами.
Утверждение 14.4. Если удовлетворяет условиям 1 и 2, то
.
Прежде чем перейти к изучению более общих симплектических кодов, рассмотрим подробнее свойства -операторов.
Как уже говорилось, -операторы удобно индексировать элементами группы
. Будем обозначать мультииндекс
-оператора через
.
-операторы образуют базис в
, более того, есть естественная
-градуировка:

Для -операторов выполнены следующие соотношения


Рассмотрим унитарные преобразования — действия унитарных операторов . Такое действие не меняется при домножении
на число, равное по модулю единице, поэтому группа унитарных преобразований имеет вид
. Отметим, что унитарные преобразования — это в точности автоморфизмы
-алгебры
.
Нас интересуют такие преобразования, для которых (
— некоторая функция). Оператор
эрмитов, поэтому
, то есть мы можем написать
![]() |
( 14.14) |

-
-операторы.
. В данном случае
.
- Оператор
. Непосредственно проверяется, что
. Таким образом, преобразование
.
Можно показать, что . Если учитывать фазовые множители, то получилась бы группа Клиффорда из
элементов.
Основные свойства введенного отображения таковы:
-
линейно на
.
-
сохраняет форму
, т.е.
.
Отображения с такими свойствами, как известно, называются симплектическими; они образуют симплектическую группу . Таким образом, определен гомоморфизм
.
Теорема 14.3. ,
(ядро состоит из
-операторов). Таким образом,
.
Для понимания доказательства желательно знать что-нибудь про расширения и когомологии групп [15]. Читателю, незнакомому с этими понятиями, будет предложен "обходной путь" (см. ниже).
Доказательство. Преобразование (14.14) должно быть автоморфизмом -алгебры
. Это имеет место тогда и только тогда, когда сохраняются правила умножения операторов
. Это означает, что функция
обладает указанными свойствами, а
удовлетворяет уравнению
![]() |
( 14.15) |

В случае, когда — тождественное отображение, правая часть уравнения (14.15) равна нулю. Решениями являются все линейные функции. Это доказывает, что
.
Утверждение равносильно тому, что уравнение (14.15) имеет решение при любом
из
. Чтобы доказать это, заметим, что функция
обладает следующими свойствами:
![]() |
( 14.16) |
![]() |
( 14.17) |
![]() |
( 14.18) |
Формула (14.16) — это уравнение коцикла. Оно означает, что функция задает структуру группы на декартовом произведении множеств
согласно правилу
. Полученная группа (обозначим ее
) является расширением
посредством
, т.е. определен гомоморфизм
,
с ядром
.
Уравнение (14.17) означает, что группа абелева. Наконец, уравнение (14.18) означает, что все элементы группы
имеют порядок
(или
). Следовательно,
. Отсюда вытекает, что расширение
тривиально: существует гомоморфизм
, такой что
. Записывая этот гомоморфизм в виде
, получаем решение уравнения (14.15).
Существует другой, несколько кустарный способ доказать, что . Рассмотрим следующие симплектические преобразования:
,
и
. (Напомним, что
). Их образы при гомоморфизме
порождают всю группу
. (Намек на доказательство: любую пару векторов
, такую что
, можно перевести этими преобразованиями в
,
и
.) На самом деле, таким способом можно получить и другой интересный результат. Указанные элементы группы
порождают все матрицы Паули, т.е. ядро гомоморфизма
. Следовательно, верно такое утверждение.
Утверждение 14.5. Группа порождается элементами
![(H\cdot H^\dagger)[j],\ (K\cdot K^\dagger)[j],\ \left(\Lambda(\sx)\cdot\Lambda^\dagger(\sx)\right)[j,k].](/sites/default/files/tex_cache/b683c4a25cda50c3633aa07872e2b116.png)
Для примера посмотрим на действие оператора . По определению имеем
. Действие
на образующие алгебры
:




Дадим теперь определение симплектического кода. В пространстве мы выделим подпространство
условиями
(
будем называть проверочными операторами ). Проверочные операторы будут иметь вид
![]() |
( 14.19) |




Определение 14.9. Симплектический квантовый код задается условиями (14.19), где все коммутируют.
Итак, симплектическому квантовому коду соответствует изотропное подпространство ; изотропность означает, что для любых
выполнено
. Поэтому размерность симплектического кода легко вычисляется.
Теорема 14.4. .
Лемма 14.6. Любой симплектический код приводится преобразованиями из к стандартному виду, когда проверочными операторами являются
, где
.
Доказательство. Подпространство можно перевести отображением из
в подпространство
, состоящее из векторов вида
, где
— произвольные. Согласно теореме 14.3, этому отображению соответствует некоторое унитарное преобразование
. Оно переводит кодовое подпространство в подпространство, заданное проверочными операторами
(
). Применяя дополнительное преобразование вида
, все знаки можно сделать плюсами.
Теперь посмотрим, какие ошибки способен обнаруживать симплектический код. Напомним, что код обнаруживает ошибки из , если
![]() |
( 14.20) |


Пусть , т.е.
для всех
, где
. Обозначим
, где
. Как мы сейчас увидим, вектор
является собственным для всех проверочных операторов
, поэтому он либо принадлежит кодовому подпространству
, либо ему
ортогонален. Подействуем проверочным оператором на
:

Условие равносильно условию
для всех
. Такие
образуют линейное подпространство, которое мы обозначим
,
т.е.
.
Возможны следующие три случая:
-
. При этом
, поэтому
. Такую ошибку код обнаружит.
-
. Такая ошибка фактически неотличима от тождественного оператора, так как она не меняет кодового вектора
(с точностью до фазового множителя). Пусть
, тогда
, где
. В этом случае
— условие (14.20) выполнено.
-
. В этом случае (проверьте!)
не имеет вида
. Такую ошибку код не обнаруживает.
Этими рассуждениями доказана следующая теорема.
Теорема 14.5. Кодовое расстояние для симплектического кода

Заметим отличие от классических линейных кодов. Там кодовое расстояние определяется как наименьшая норма вектора из подпространства с выкинутым нулем. А у симплектических кодов нуль раздувается до подпространства.
Задача 14.4. Постройте симплектический квантовый код типа , исправляющий одну ошибку.
Задача 14.5. Докажите, что не существует квантового кода типа , исправляющего одну ошибку.