НОУ ИНТУИТ | Классические и квантовые вычисления. Лекция 6: Соотношение между классическим и квантовым вычислением

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 15.03.2007 | Уровень: профессионал | Доступ: платный | ВУЗ: Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

|

Вам нравится? Нравится 11 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Аннотация: Основное внимание в лекции уделено понятию обратимой классической схемы и реализуемых ею перестановок, вводится понятие элемента Тоффоли, рассматривается содержательный смысл операции обратимого копирования.

Ключевые слова: объект, перестановка, базис, множества, Произведение, сложение, значение, отрицание, функция, операции, копирование, controlled, NOT, присваивание, конечные, вычисление, энергия, анализ, память

Классический объект, соответствующий унитарному оператору, — перестановка. Любой перестановке $G\colon\cb^k \to \cb^k$ естественно сопоставляется унитарный оператор $\ha{G}$ в пространстве $\BB^{\otimes k}$ , действующий по правилу $\ha{G}\ket{x}\bydef\ket{Gx}$ .

Аналогично определению 5.1, можно определить обратимые классические схемы, реализующие перестановки.

Определение 6.1. Обратимая классическая схема. Пусть $\calA$ — некоторое множество перестановок вида $G\colon\cb^k\to\cb^k$ (базис). Обратимая классическая схема в базисе $\calA$ — это последовательность перестановок $U_1[A_1],\dots, U_l[A_l]$ , где A_j — множества битов, $U_j\in\calA$ .

Перестановка, реализуемая обратимой схемой. Это произведение перестановок $U_l[A_l]\cdot\ldots\cdot U_1[A_1]$ .

Перестановка , реализуемая схемой в расширенном смысле. Это такая перестановка, что произведение перестановок

$W=U_l[A_l]\cdot\ldots\cdot U_1[A_1]$

(действующее на

битов, $N\geq n$ ) для любого $x\in\cb^n$ удовлетворяет условию $W(x,0^{N-n})=\left(Ux,0^{N-n}\right)$ .

В каких случаях функцию, заданную булевой схемой, можно реализовать обратимой схемой? Обратимые схемы реализуют только перестановки. Преодолеть эту трудность можно так. Вместо вычисления функции $F\colon{} \cb^n\to\cb^m$ будем вычислять функцию $F_\oplus\colon{} \cb^{n+m}\to\cb^{n+m}$ , заданную соотношением $F_\oplus(x,y)\double=(x,y\oplus F(x))$ (здесь $\oplus$ означает побитовое сложение по модулю 2). Тогда значение F(x) можно получить так: $F_\oplus(x,0)=(x,F(x))$ .

Чтобы можно было вычислять функции, заданные булевыми схемами в полном базисе, недостаточно взять базис для обратимых схем из перестановок на двух битах. Оказывается, что любая перестановка на двух битах $g\colon{} \cb^2\to \cb^2$ является линейной функцией (при естественном отождествлении множества $\cb$ и поля из двух элементов $\FF_2$ ): $g(x,y) =(ax\oplus by\oplus c, dx\oplus ey\oplus f)$ , где , , , , , $f\in\FF_2$ . Поэтому все функции, вычисляемые обратимыми схемами в базисе из перестановок на двух битах, являются линейными.

А вот перестановок на трех битах уже достаточно, чтобы реализовать любую функцию. При этом не обязательно использовать все перестановки, достаточно включить в базис лишь две функции — отрицание $\neg$ и элемент Тоффоли $\wedge_\oplus\colon (x,y,z)\mapsto(x,y,z\oplus xy)$ . При этом имеется в виду реализуемость в расширенном смысле, т.е. можно брать напрокат биты в состоянии 0 и возвращать их после окончания вычислений в том же состоянии.

Задача 6.1. Докажите для обратимых схем полноту базиса, состоящего из отрицания и элемента Тоффоли.

Лемма 6.1. Пусть функция $F\colon\cb^n\to\cb^m$ реализуется булевой схемой размера в некотором базисе $\calA$ . Тогда можно реализовать функцию $(x,0)\mapsto (F(x),G(x))$ обратимой схемой размера O(L) в базисе { $\calA_\oplus$ , состоящем из функций $f_\oplus$ ( $f\in\calA$ ), а также функции $\qxor\colon(x,y)\mapsto(x,x\oplus y)$ .

Замечание 6.1. Помимо "полезного" ответа F(x) схема, указанная в формулировке леммы, производит "мусор" G(x) .

Замечание 6.2. Содержательный смысл операции $\qxor$ — обратимое копирование бита (если начальное значение равно ). В литературе эта операция обычно называется Controlled NOT по причинам, которые станут ясными из дальнейшего.

Замечание 6.3. Применяя функцию $(\leftrightarrow)\colon(a,b)\mapsto(b,a)$ можно менять биты местами в записи. Обратите внимание, что для перестановок битов достаточно также иметь в базисе $\qxor$ , так как

$(\leftrightarrow)[j,k]\double=\null\qxor[j,k]\qxor[k,j]\qxor[j,k].$

Доказательство. Возьмем схему, вычисляющую . Пусть входные переменные — это $x_1,\dots,x_n$ . Вспомогательные переменные схемы и биты результата — это $x_{n+1},\dots, x_{n+L}$ ; в обратимой схеме сопоставим им дополнительные биты, имеющие в начальном состоянии значение 0.

Каждое присваивание в схеме имеет вид $x_{n+k}:=f_k(x_{j_k},\dots,x_{l_k})$ , $f_k\in\calA$ , $j_k,\dots,l_k<n+k$ . В обратимой схеме аналогом присваивания будет действие перестановки $(x_{j_k},\dots,x_{l_k},x_{n+k}):=(f_k)_\oplus(x_{j_k},\dots,x_{l_k}$ , $x_{n+k})$ , т.е. $x_{n+k}:=x_{n+k}\oplus f_k(x_{j_k},\dots,x_{l_k})$ .