Классические и квантовые коды
Модель независимых ошибок в квантовом случае.
Предположим, что на каждый q-бит действует одно и то же малое возмущение. Это означает, что на матрицу плотности рассматриваемой системы из q-битов действует преобразование
, где
— "мало". В классическом случае малое возмущение означает малую вероятность ошибки. В квантовом случае малое возмущение меняет матрицы плотности "не слишком сильно". Чтобы придать этому выражению точный смысл, нужно ввести норму на матрицах плотности, характеризующую их близость, а затем — такую норму на преобразованиях матриц плотности, чтобы выполнялось условие: малое по норме преобразование переводит матрицу плотности в близкую к ней.
Начнем с того, что выясним, какие нормы пригодны для характеризации близости матриц плотности. Матрица плотности, как мы помним из
"Квантовые вероятности"
, задает вероятностное распределение на чистых состояниях. Вероятностные распределения естественно сравнивать в -норме: если
,
— два распределения, то мерой их различия считаем
. Дадим определение аналогичной нормы для матриц плотности.
Определение 14.4. Следовая норма оператора равна
![]() |
( 14.3) |
Для эрмитова оператора следовая норма — это сумма модулей собственных чисел.
Задача 14.1. Проверьте, что (14.3) действительно определяет норму. Докажите, что
![]() |
( 14.4) |

Задача 14.2. Проверьте выполнение следующих свойств следовой нормы:
-
,
-
,
-
,
-
,
-
.
Следующая лемма показывает, почему можно рассматривать следовую норму для матриц плотности как аналог -нормы для вероятностных распределений.
Лемма 14.2. Пусть — разложение пространства
в прямую сумму взаимно ортогональных подпространств. Тогда для любой пары матриц плотности
,

Доказательство. Левую часть этого неравенства можно представить в виде , где
. Ясно, что
. Теперь применим представление следовой нормы в виде (14.4).
Теперь кажется естественным определить норму преобразования матриц плотности аналогично операторной норме
![]() |
( 14.5) |
![]() |
( 14.6) |



Пример 14.3. Рассмотрим преобразование





Оказывается (ниже это будет доказано), что патология примера 14.3 имеет ограничение по размерности. А именно, если , то
, где величина
от
не зависит. Прежде чем доказывать это утверждение, посмотрим на его следствия.
Во-первых, ясно, что определенная таким образом величина является нормой.
Во-вторых, поскольку следовая норма мультипликативна относительно тензорного умножения, то . Поэтому
.
В-третьих, из определения следует, что , поэтому имеем такие неравенства
![]() |
( 14.7) |

Чтобы доказать приведенное выше свойство норм , дадим другое определение величины
.
Определение 14.5. Рассмотрим представления в виде
. Здесь
обозначает преобразование
, а
, где
— произвольное унитарное пространство размерности не меньшей, чем
. Тогда
— точная нижняя грань чисел вида
(это операторные нормы) по всем представлениям указанного вида.
Замечание. Условие гарантирует, что существует хотя бы одно представление
. Для минимизации произведения
достаточно рассматривать операторы с нормами
и
, поэтому инфимум достигается в силу компактности. То, что он не зависит от размерности
, вытекает из следующей теоремы.
Теорема 14.1. Если , то
.
Доказательство. Пусть . Тогда, используя свойства следовой нормы из задачи 14.2, получаем

Поэтому .
Доказать неравенство в обратную сторону несколько сложнее. Без уменьшения общности, . Инфимум в определении 14.5 достигается при
.
Покажем сначала, что существуют три матрицы плотности и
, такие что
. Пусть






Докажем, что . Так как
и
— компактные выпуклые множества, достаточно доказать, что не существует разделяющей их гиперплоскости. Другими словами, нет такого эрмитова оператора
, что
для любых
,
. А это, в свою очередь, следует из минимальности величины
по отношению к преобразованию


Итак, пусть , где
. Представим
и
в виде
,
, где
— единичные векторы. Здесь мы используем условие
и утверждение 9.1. Положим
. Очевидно, что
.
Докажем, что . Обозначим








Теперь можно оценить остаточный член в формуле (14.6), почти дословно повторяя рассуждения в классическом случае. Если
, то
, где
— константа (все нормы эквивалентны, причем множитель ограничен размерностью пространства;
действует на пространстве матриц плотности одного q-бита). Используя мультипликативность нормы
, заключаем, что






![\sum_{|A|\le k}^{} R_1^{\otimes A}\otimes I_{[n]\setminus A}](/sites/default/files/tex_cache/b0819dece8488594faac229d18e0297c.png)

