НОУ ИНТУИТ | Графы и алгоритмы. Лекция 14: Жадные алгоритмы и матроиды

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 27.09.2006 | Уровень: специалист | Доступ: платный | ВУЗ: Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского

|

Вам нравится? Нравится 42 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Взвешенные паросочетания

Рассмотрим следующую задачу. Дан двудольный граф G=(A,B,E) и для каждой вершины $x\in A$ задан положительный вес w(x) . Требуется найти такое паросочетание в этом графе, чтобы сумма весов вершин из доли , инцидентных ребрам паросочетания, была максимальной. Эту задачу иногда интерпретируют следующим образом. - это множество работ, а - множество работников. Ребро в графе соединяет вершину $a\in A$ с вершиной $b\in B$ , если квалификация работника позволяет ему выполнить работу . Каждая работа выполняется одним работником. Выполнение работы принесет прибыль w(a) . Требуется так распределить обязанности работников, чтобы максимизировать общую прибыль. Покажем, что эта задача может быть решена алгоритмом СПО в сочетании с методом чередующихся цепей.

Множество $X\subseteq A$ назовем отображаемым, если в графе существует паросочетание , насыщающее все вершины из . в этом случае будем называть отображением для . Пусть $\Phi$ - семейство всех отображаемых множеств.

Теорема 3. Пара $(A,\Phi)$ является матроидом.

Доказательство. Условие (1) определения матроида, очевидно, выполняется. Докажем, что выполняется и условие (2). Пусть $X\in \Phi$ , $Y\in \Phi$ , |X| < |Y| . Рассмотрим подграф графа , порожденный всеми вершинами из $X\cup Y$ и всеми смежными с ними вершинами из доли . Пусть $M_{X}$ - отображение для . Так как $M_{X}$ не является наибольшим паросочетанием в графе , то по теореме 6 относительно него в этом графе существует увеличивающая цепь. Одним из концов этой цепи является свободная относительно $M_{X}$ вершина $a\in Y$ . После увеличения паросочетания $M_{X}$ с использованием этой цепи, как было описано выше, получим паросочетание , отображающее множество $X\cup \{a\}$ . Следовательно, $X\cup \{a\} \in \Phi$ .

Даже если бы в задаче требовалось найти только отображаемое множество наибольшего веса, проверка принадлежности множества семейству $\Phi$ требовала бы и нахождения соответствующего отображения, т.е. паросочетания. На самом же деле построение паросочетания входит в условие задачи. Комбинируя СПО с алгоритмом поиска увеличивающих цепей, получаем следующий алгоритм.

Алгоритм 2. Построение паросочетания наибольшего веса в двудольном графе G=(A,B,E) с заданными весами вершин доли .

Упорядочить элементы множества по убыванию весов: $A=\{a_{1},a_2,\ldots, a_{k}\}$ , $w(a_{1} )\ge w(a_{2} )\ge \ldots \ge w(a_{k})$
$X:=\varnothing$
$M:=\varnothing$
for to do
if в существует увеличивающая цепь относительно , начинающаяся в вершине $a_{i}$
then ${ X:=X\cup \{ a_{i}\}$ ; $M:=M\otimes P}$

Если для поиска увеличивающей цепи применить метод поиска в ширину, как описано выше, то время поиска будет пропорционально числу ребер. Общая трудоемкость алгоритма будет O(mk) , где - число ребер в доле .

Дальше >>

Графы и алгоритмы

Графы и алгоритмы

Жадные алгоритмы и матроиды

Взвешенные паросочетания

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Графы и алгоритмы

Графы и алгоритмы

Жадные алгоритмы и матроиды

Взвешенные паросочетания

Вопросы и ответы

Студенты