Оптимальные каркасы

Алгоритм Крускала

Другой жадный алгоритм для задачи об оптимальном каркасе известен как алгоритм Крускала. В нем тоже на каждом шаге рассматривается частичное решение. Отличие от алгоритма Прима состоит в том, что в алгоритме Крускала частичное решение всегда представляет собой остовный лес графа , т.е. лес, состоящий из всех вершин графа и некоторых его ребер. Вначале не содержит ни одного ребра, т.е. состоит из изолированных вершин. Затем к нему последовательно добавляются ребра, пока не будет построен каркас графа . Пусть - лес, построенный к очередному шагу. Ребро графа, не принадлежащее , назовем красным, если вершины этого ребра принадлежат одной компоненте связности леса , и зеленым, если они принадлежат разным компонентам. Если к добавить красное ребро, то образуется цикл. Если же к добавить зеленое ребро, то получится новый лес, в котором будет на одну компоненту связности меньше, чем в , так как в результате добавления ребра две компоненты сольются в одну. Таким образом, к нельзя добавить никакое красное ребро и можно добавить любое зеленое. Для выбора добавляемого ребра применяется тот же "жадный" принцип, что и в алгоритме Прима - из всех зеленых ребер выбирается ребро наименьшего веса. Для того чтобы облегчить поиск этого ребра, вначале все ребра графа упорядочиваются по возрастанию весов: . Теперь последовательность ребер достаточно просмотреть один раз и для очередного рассматриваемого ребра нужно только уметь определять, является ли оно красным или зеленым относительно построенного к этому моменту леса . Красные ребра просто пропускаются, а зеленые добавляются к .

Для более формального описания алгоритма заметим, что текущий лес определяет разбиение множества вершин графа на области связности этого леса: и что красное ребро - это такое ребро, у которого обе вершины принадлежат одной части разбиения. Пусть - функция, возвращающая для каждой вершины имя той части разбиения, которой принадлежит , а - процедура, которая по именам и двух частей разбиения строит новое разбиение, заменяя эти две части их объединением. Пусть , . Тогда алгоритм Крускала (после упомянутого упорядочения ребер) можно записать следующим образом.

Алгоритм 2. Построение оптимального каркаса методом Крускала

1. for to do
2. 
3. 
4. if then ,

Более подробно алгоритм Крускала рассматривается во второй части (в разделе, посвященном разделенным множествам). Корректность этого алгоритма следует из общей теоремы Радо-Эдмондса, которая будет рассмотрена в "следующей лекции" .