Пространство циклов графа

Рационализация

Приведенный алгоритм нетрудно модифицировать так, что он будет строить базу циклов с суммарной длиной, ограниченной сверху величиной порядка (и такой же будет оценка трудоемкости алгоритма). Рассмотрим в графе произвольную вершину и пусть - все ее предки в DFS-дереве, соединенные с обратными ребрами. Положим также . Обозначим через для путь в DFS-дереве, соединяющий и . Описанный выше алгоритм выдает циклы вида , . Рассмотрим циклы , . Так как , то совокупность всех таких циклов также образует базу циклов графа. Назовем эту систему циклов сокращенной. Алгоритм легко модифицировать так, чтобы вместо циклов выдавались циклы - нужно только после обнаружения обратного ребра, ведущего от предка к потомку (строка 11), выписать вершины, содержащиеся в стеке, начиная с и заканчивая следующей вершиной, смежной с . Для эффективной проверки этой смежности удобно использовать матрицу смежности.

Оценим суммарную длину циклов сокращенной системы. Предположим, что граф имеет вершин и ребер. Каждое обратное ребро принадлежит не более чем двум циклам сокращенной системы. Значит, суммарный вклад обратных ребер в не превосходит .

Для каждого цикла из сокращенной системы назовем верхушкой этого цикла вершину цикла с наибольшим глубинным номером (это та вершина , при исследовании окрестности которой был найден данный цикл). Очевидно, для каждого прямого ребра в сокращенной системе имеется не более одного цикла с данной верхушкой. Значит, число циклов, в которые входит данное прямое ребро, не превосходит числа вершин, лежащих в дереве выше него (т.е. являющихся потомками вершин этого ребра). Тем более это число не превосходит числа всех вершин графа. Так как имеется не более чем прямое ребро, то для суммарного вклада всех прямых ребер в получаем верхнюю оценку . Таким образом, , т.е. на порядок меньше максимальной суммарной длины системы фундаментальных циклов.