НОУ ИНТУИТ | Графы и алгоритмы. Лекция 7: Пространство циклов графа

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 27.09.2006 | Уровень: специалист | Доступ: платный | ВУЗ: Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского

|

Вам нравится? Нравится 42 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Фундаментальные циклы

Компактное представление пространства дает его базис. Если выписать все простые циклы графа , то это в большинстве случаев не будет его базисом, так как некоторые из этих циклов могут быть суммами других (см. пример на рис. 7.1). Построить базис пространства C[G] , состоящий из простых циклов, можно следующим образом. Выберем в графе какой-нибудь каркас . Пусть $e_{1},\ldots e_{s}$ - все ребра графа , не принадлежащие . Если добавить к ребро $e_{i}$ , то в полученном графе образуется единственный (простой) цикл $Z_{i}$ . Таким образом, получаем семейство из циклов, они называются фундаментальными циклами относительно каркаса .

Теорема 2. Множество всех фундаментальных циклов относительно любого каркаса графа образует базис пространства циклов этого графа.

Доказательство. Зафиксируем некоторый каркас и рассмотрим фундаментальные циклы $Z_{1},Z_{2},\ldots ,Z_{s}$ относительно этого каркаса. В каждом из этих циклов имеется ребро $e_{i}$ , принадлежащее данному циклу и не принадлежащее никакому из остальных. Поэтому при сложении этого цикла с другими фундаментальными циклами данное ребро не "уничтожится" - оно будет присутствовать в суммарном графе. Следовательно, сумма различных фундаментальных циклов никогда не будет пустым графом, то есть фундаментальные циклы линейно независимы.

Покажем теперь, что любой квазицикл графа является суммой фундаментальных циклов. Действительно, пусть - такой квазицикл. Пусть $e_{i_{1}},e_{i_{2}},\ldots e_{i_{t} }$ - все ребра , не принадлежащие . Рассмотрим граф $F=H\oplus Z_{i_{1}} \oplus Z_{i_{2}} \oplus \ldots \oplus Z_{i_{t} }$ . Каждое из ребер $e_{i_{j} }$ , $j=1,\ldots t$ , входит ровно в два слагаемых этой суммы - в и в $Z_{i_{j} }$ . Следовательно, при сложении все эти ребра уничтожатся. Все остальные ребра, присутствующие в графах-слагаемых, принадлежат . Значит, - подграф графа . Так как все слагаемые являются квазициклами, значит, - тоже квазицикл. Но в нет циклов, поэтому имеется единственная возможность: F=O , откуда получаем $H=Z_{i_{1}} \oplus Z_{i_{2}} \oplus \ldots \oplus Z_{i_{t}}$ .

Из этой теоремы следует, что размерность пространства циклов графа равна числу ребер, не входящих в его каркас. Так как каркас содержит n-k ребер, где - число компонент связности графа, то эта размерность равна $\nu (G)=m-n+k$ . Это число называют цикломатическим числом графа.

Построение базы циклов

Базис пространства циклов графа коротко называют базой циклов. На основании теоремы 2 можно предложить достаточно простой способ построения базы циклов графа. Сначала находится какой-нибудь каркас, затем для каждого ребра, не принадлежащего каркасу, отыскивается тот единственный цикл, который это ребро образует с ребрами каркаса. Таким образом, любой алгоритм построения каркаса может быть использован для нахождения базы циклов.

Поиск в глубину особенно удобен благодаря основному свойству DFS-дерева (теорема 1 из "Поиск в глубину" ) - каждое обратное ребро относительно этого дерева является продольным. Это означает, что из двух вершин такого ребра одна является предком другой в DFS-дереве. Каждое такое ребро в процессе поиска в глубину встретится дважды - один раз, когда активной вершиной будет предок, другой раз, когда ею будет потомок. В этом последнем случае искомый фундаментальный цикл состоит из рассматриваемого обратного ребра и участка пути в DFS-дереве, соединяющего эти две вершины. Но этот путь так или иначе запоминается в процессе обхода в глубину, так как он необходим для последующего возвращения. Если, например, для хранения открытых вершин используется стек, то вершины этого пути находятся в верхней части стека. В любом случае этот путь легко доступен и цикл находится без труда. Запишем процедуру построения фундаментальных циклов на базе алгоритма поиска в глубину с построением DFS-дерева. Переменная - счетчик циклов, C(k) - последовательность (список) вершин, составляющих цикл с номером .

Алгоритм 1. Построение базы циклов.

пометить все вершины как новые
for $x\in V$ do if новая then

Procedure CycleBase(a)

открыть вершину
$F(a)\, :=a$
$x\, :=a$
while открытая do
if имеется неисследованное ребро
then пометить ребро как исследованное
if вершина новая
then открыть вершину
else
else закрыть вершину

Procedure NewCycle

Создать список из одного элемента
repeat
добавить к списку
until

Хотя сам поиск в глубину выполняется за линейное от числа вершин и ребер время, решающее влияние на трудоемкость этого алгоритма оказывает необходимость запоминать встречающиеся циклы. Подсчитаем суммарную длину этих циклов для полного графа с вершинами. DFS-дерево в этом случае является простым путем, относительно него будет n-2 цикла длины , n-3 цикла длины $4\ldots 1$ цикл длины . Сумма длин всех фундаментальных циклов будет равна