Россия |
Математическое моделирование. Математическая модель в задачах оптимизации. Элементарные математические модели
б) Сохранение материи. Именно этим соображением руководствуется школьник, решающий задачу о заполнении бассейна водой, втекающей и вытекающей из двух труб. Конечно же, область применения этого закона несравненно шире.
Пусть, например, имеется небольшое количество радиоактивного вещества (урана), окруженного толстым слоем "обычного" материала (свинца), — ситуация типичная либо при хранении делящихся материалов, либо при их использовании в энергетике (рис. 1.4).
Под словом "небольшой" подразумевается упрощающее обстоятельство, а именно то, что все продукты распада, не испытывая столкновений с атомами вещества, беспрепятственно покидают область I. Другими словами, длина свободного пробега продуктов распада в первом веществе значительно больше характерных размеров самого материала LI, Т.е. . Слова "толстый слой" означают, что в согласии с целями хранения продукты деления полностью поглощаются в области II. Это гарантируется при выполнении противоположного условия , где — длина пробега продуктов распада во втором веществе, LII — его характерный размер.
Итак, все, что вылетает из области I, поглощается в области II, и суммарная масса обоих веществ со временем не меняется. Это и есть закон сохранения материи, примененный к данной ситуации. Если в начальный момент времени t=0 массы веществ были равны MI(0) и MII(0), то в любой момент времени справедлив баланс
( 4) |
Одного уравнения (4), очевидно, недостаточно для определения текущих значений двух масс - MI(t) и MII(t). Для замыкания математической формулировки необходимо привлечь дополнительное соображение о характере распада. Оно гласит, что скорость распада (число атомов, распадающихся в единицу времени) пропорционально общему числу атомов радиоактивного вещества. За небольшое время dt между моментами t и t + dt всего распадется
атомов. Здесь вторично использован закон сохранения вещества, но применительно не ко всему процессу, а к отрезку времени dt. В этом уравнении, описывающем баланс атомов, в правой части стоит знак минус (вещество убывает), а величина отвечает некоторому среднему значению числа атомов за рассматриваемое время. Перепишем его в дифференциальной форме:Учитывая, что , где — атомный вес вещества I, получаем
( 5) |
При самопроизвольной радиоактивности любой атом имеет некоторую не зависящую от состояния окружающего вещества вероятность распада. Поэтому чем больше (меньше) самого радиоактивного вещества, тем больше (меньше) выделяется продуктов распада в единицу времени. Коэффициент пропорциональности ( постоянная распада ) определяется конкретным веществом.
Уравнения (4), (5) вместе с условиями , а также величинами , MI(0), MII(0) и составляют математическую модель рассматриваемого объекта.
Интегрируя (5), получаем, что масса делящегося материала убывает по экспоненциальному закону
и при в области I вещество полностью исчезает.Так как суммарная масса в соответствии с (4) остается постоянной, то в области II количество вещества растет:
и при продукты распада полностью переходят из области I в область II.в) Сохранение импульса. Неподвижно стоящая в безветренную погоду на поверхности озера лодка начнет двигаться вперед, если сделать несколько шагов от ее носа к корме. Так проявляет себя закон сохранения импульса, утверждающий: полный импульс системы, не испытывающей действия внешних сил, сохраняется. На передвижение гребца лодка реагирует смещением в противоположную сторону.
Принцип реактивного движения положен в основу многих замечательных технических устройств, например, ракеты, выводящей на орбиту вокруг Земли искусственный спутник, для чего ей требуется развить скорость примерно 8 км/с. Простейшая математическая модель движения ракеты получается из закона сохранения импульса в пренебрежении сопротивлением воздуха, гравитацией и другими силами, исключая, конечно, тягу реактивных двигателей.
Пусть продукты сгорания ракетного топлива покидают расположенные в кормовой части выхлопные сопла со скоростью u (для современных топлив величина и равна 3-5 км/с). За малый промежуток времени dt между моментами t и t + dt часть топлива выгорела, и масса ракеты изменилась на величину dm. Изменился также импульс ракеты, однако суммарный импульс системы "ракета плюс продукты сгорания" остался тем же, что и в момент t, т.е.
где v(t) — скорость ракеты, - средняя за промежуток dt скорость истекающих из сопел газов (обе скорости берутся относительно Земли). Первый член в правой части этого равенства - импульс ракеты в момент t + dt, второй — импульс, переданный истекающим газом за время dt.Учитывая, что m(t + dt) = m(t) + (dm/dt) dt + O(dt2), закон сохранения импульса можно переписать в виде дифференциального уравнения
в котором член - (dm/dt) u, очевидно, не что иное, как сила тяги ракетных двигателей, и которое, будучи преобразованным к виду легко интегрируется: где v0, m0 - соответственно скорость и масса ракеты в момент t = 0. Если v0=0, то максимальная скорость ракеты, достигаемая при полном сгорании топлива, равна( 6) |
Здесь mp - полезная масса (масса спутника), ms - структурная масса (масса собственно ракетной конструкции - топливных баков, двигателей, систем управления и т.д.).
Простая формула Циолковского (6) позволяет сделать фундаментальный вывод о конструкции ракеты для космических полетов. Введем величину
которая характеризует при mр = 0 отношение структурной и начальной масс ракеты. Тогда для практически реальных значений км/с получаем при mр = 0Отсюда следует, что даже в самой идеальной ситуации (полезная масса равна нулю, отсутствуют гравитация и сопротивление воздуха и т.д.) ракета рассматриваемого типа не способна достичь первой космической скорости. Тем самым необходимо использовать многоступенчатые ракеты - вывод, к которому пришли основоположники космонавтики.
Данный пример иллюстрирует также своего рода принцип "наибольшего благоприятствия", часто используемый на начальной стадии математического моделирования сложных объектов: если объект, поставленный в наилучшие условия, не в состоянии достичь требуемых характеристик, то надо изменить сам подход к объекту либо смягчить требования к нему; если же требования в принципе достижимы, то следующие шаги связаны с исследованием влияния на объект дополнительных осложняющих факторов.