Примеры моделей, получаемых из фундаментальных законов природы

По сравнению с п.1 из "Математическое моделирование. Математическая модель в задачах оптимизации. Элементарные математические модели" более подробно и для более сложных объектов рассмотрим модели, следующие из законов Архимеда, Ньютона, Кулона и других хорошо известных законов. Обсудим некоторые свойства рассматриваемых объектов.

Примеры моделей, получаемых из фундаментальных законов природы

1. Траектория всплытия подводной лодки. Пусть подводная лодка, находящаяся в момент времени t = 0 на глубине Н от поверхности моря и движущаяся с постоянной горизонтальной скоростью v (рис. 2.1), получает приказ подняться на поверхность. Если промежуток времени, за который цистерны подлодки освобождаются от воды и заполняются воздухом, с тем чтобы ее средняя плотность стала меньше плотности воды , невелик, то можно считать, что в момент t=0 на подлодку начинает действовать выталкивающая сила, большая, чем вес лодки. По закону Архимеда выталкивающая сила равна , где g -ускорение свободного падения, V - объем подлодки. Суммарная сила, действующая на подлодку в вертикальном направлении, - разность между F и весом тела , а сообщаемое ею ускорение по второму закону Ньютона равно

Координата I, характеризующая горизонтальное положение подлодки, изменяется по закону движения тела с постоянной скоростью:

Решая эти уравнения, находим, что

и что лодка всплывет на поверхность в момент t = t_k, когда

При этом в горизонтальном направлении подлодка пройдет расстояние

Исключая из (1) время, найдем траекторию движения подлодки в координатах (I, h),

которая оказывается параболой с вершиной в точке I = 0, h = 0 (при выводе (1) вертикальная скорость лодки, а также величины I и h принимались равными нулю в момент t = 0 ). Считалось также, что никакие другие вертикальные силы, кроме F и Р, на подлодку не действуют. Это предположение верно лишь при малых скоростях всплытия, когда можно пренебречь сопротивлением воды движению лодки.

Итак, непосредственное применение закона Архимеда, определяющего величину выталкивающей силы, и закона Ньютона, связывающего силу, действующую на тело, и его ускорение, позволило легко найти траекторию подлодки.

Очевидно, что параболической траекторией обладает любое движущееся в плоскости тело, имеющее по одному из направлений постоянную скорость и на которое в другом направлении действует постоянная сила (уравнения (1) фактически дают параметрическую запись параболы). К таким движениям относятся, например, полет камня, брошенного с высоты Н с горизонтальной скоростью v или полет электрона в электрическом поле плоского конденсатора. Однако в последнем случае получить траекторию тела непосредственно из фундаментальных законов нельзя, требуется применить более детальную процедуру. Рассмотрим этот вопрос подробнее.