НОУ ИНТУИТ | Введение в математическое моделирование. Лекция 12: Компьютерное моделирование и решение нелинейных уравнений

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 15.03.2007 | Уровень: специалист | Доступ: платный | ВУЗ: Донецкий национальный технический университет

|

Вам нравится? Нравится 68 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Метод трапеций

Словесный алгоритм метода трапеций:

Интервал [a,b] делим на n равных частей с шагом h=(b-a)/n.
Вычисляем значение подынтегральной функции в каждой узловой точке
$y_i=f(x), i=\overline{0,n}.$
На каждом шаге подынтегральную функцию f(x) аппроксимируем прямой, соединяющей две соседние узловые точки. В результате вся подынтегральная функция на участке [a,b] заменяется ломаной линией проходящей через все узловые точки.
Вычисляем площадь каждой частичной трапеции.
Приближенное значение интеграла равно сумме площадей частичных трапеций, т.е.
$I=\sum \limits_{i=1}^{n-1}S_i.$

Найдем площади S_i частичных трапеций:

$S_0=\frac{1}{2}h(y_0+y_1),\\ S_1=\frac{1}{2}h(y_1+y_2),\\ S_2=\frac{1}{2}h(y_2+y_3),\\ \ldots\\ S_{n-1}=\frac{1}{2}h(y_{n-1}+y_n).$

Приближенное значение интеграла равно

$I=\sum \limits_{i=1}^{n-1}S_i = \frac{h}{2} \sum \limits_{i=1}^{n}(y_i + y_{i+1}) = \frac{h}{2}(y_0 + y_n + 2\sum \limits_{i=1}^{n-1}y_i).$

Точность метода трапеций имеет порядок h².

Схема алгоритма метода трапеций представлена на рис.12.6.

Рис. 12.6. Схема алгоритма метода трапеций (с автоматическим выбором шага)

Метод Симпсона

В методе Симпсона в каждой части деления подынтегральная функция аппроксимируется квадратичной параболой a₀x²+a₁x+a₂. В результате вся кривая подынтегральной функции на участке [a,b] заменяется кусочно-непрерывной линией, состоящей из отрезков квадратичных парабол. Приближенное значение интеграла I равно сумме площадей под квадратичными параболами.

Т.к. для построения квадратичной параболы необходимо иметь три точки, то каждая часть деления в методе Симпсона включает два шага, т.е.

L_k=2h.

В результате количество частей деления N2=n/2. Тогда n в методе Симпсона всегда четное число.

Определим площадь S₁ на участке [x₀, x₂] (рис.12.2).

Исходя из геометрического смысла определенного интеграла, площадь S₁ равна определенному интегралу от квадратичной параболы на участке [x₀, x₂]:

$S_1=\int_{x0}^{x2}(a_0x^2 + a_1x + a_2)dx = \frac{1}{3}a_0x^3 + \frac{1}{2}a_1x^2 + a_2x\left|_{xo}^{x2} \right. =\\ = \frac{x_2-x_0}{6}(2a_0(x_0 + x_0x_2 +x_2^2) + 3a_1(x_0 + x_2 + 6a^2).$

Неизвестные коэффициенты квадратичной параболы а₀ , а₁, а₂ определяем из условия прохождения параболой через три узловых точки с координатами (x₀y₀), (x₁y₁), (x₂y₂).