Эффективные и оптимальные механизмы
Оптимальные механизмы
Теперь вернемся к более общей ситуации и начнем наши рассуждения с оптимальных механизмов. Чтобы построить оптимальный механизм, нужно для прямого механизма максимизировать ожидание дохода продавца:
![\mathbf E(R) = \sum\limits_{i=1}^N\mathbf E[m_i(X_i)],](/sites/default/files/tex_cache/d58eb7c298595c01862574d00e8a7e99.png)
где — распределение ценностей агента
, а
— его выплата. Далее мы подсчитаем это ожидание явно, но сначала вспомним обозначения доходности и выплаты агентов. Через
мы обозначаем ожидаемую доходность агента
, когда он говорит
, а остальные говорят правду:
![q_i(z_i) = \int_{\mathcal X_{-i}}Q_i(z_i,\mathbf x_{-i})f_{-i}(\mathbf x_{-i})d\mathbf x_{-i}.](/sites/default/files/tex_cache/992bbeacda614db8b6f7384ec36f82cc.png)
А через — ожидаемую выплату агента
в той же ситуации:
![m_i(z_i) = \int_{\mathcal X_{-i}}M_i(z_i,\mathbf x_{-i})f_{-i}(\mathbf x_{-i})d\mathbf x_{-i}.](/sites/default/files/tex_cache/6773935dd1c3186bce7286cca3c6aa84.png)
Напомним, что отрицательные индексы означают "все, кроме"; например, означает распределение ценностей всех агентов, кроме агента
.
Для вывода ожидаемого дохода продавца будем использовать формулу для ожидаемой выплаты агента
, которую мы получали в теореме об эквивалентности доходности (теорема 4.1):
![\mathbf E[m_i(X_i)] = \int_0^{\omega_i}m_i(x_i)f_i(x_i)dx_i = \\ = m_i(0) + \int_0^{\omega_i}q_i(x_i)x_if_i(x_i)dx_i - \int_0^{\omega_i}\int_0^{x_i}q_i(t_i)f_i(x_i)dt_idx_i.](/sites/default/files/tex_cache/ac8b1fc5e742db7ca4088359b3baca3c.png)
Преобразуем двойной интеграл, поменяв в нем порядок интегрирования. Здесь снова никаких теоретических проблем с изменением порядка не возникает; область интегрирования показана на рис. 5.2.
![\int_0^{\omega_i}\int_0^{x_i}q_i(t_i)f_i(x_i)dt_idx_i =
\int_0^{\omega_i}\int_{t_i}^{\omega_i}q_i(t_i)f_i(x_i)dx_idt_i = \\
= \int_0^{\omega_i}(1-F_i(t_i))q_i(t_i)dt_i.](/sites/default/files/tex_cache/7dab173bc4974eed5a0374a6824acb4a.png)
Запишем снова ожидаемую выплату агента и вспомним, что
по определению — интеграл по
. Тогда интегралы по
и
весьма удобно объединятся:
![\mathbf E[m_i(X_i)] = m_i(0) + \int_0^{\omega_i}\left(x_i - \frac{1-F_i(x_i)}{f_i(x_i)}\right)q_i(x_i)f_i(x_i)dx_i = \\ = \int_\mathcal X\left(x_i - \frac{1-F_i(x_i)}{f_i(x_i)}\right)Q_i(\mathbf x)f(\mathbf x)d\mathbf x.](/sites/default/files/tex_cache/cb38108135c26bf0a21927b0963b96fe.png)
В итоге, просуммировав по всем агентам, получаем ожидаемый доход продавца:
![\mathbf E[R] = \sum_{i=1}^N\mathbf E[m_i(X_i)] =\sum_{i=1}^Nm_i(0)+\sum_{i=1}^N\int_{\mathcal X}\left(x_i - \frac{1-F_i(x_i)}{f_i(x_i)}\right)Q_i(\mathbf x)f(\mathbf x)d\mathbf x.](/sites/default/files/tex_cache/0e51725ea7b87bb20e939f3024e6172d.png)
Осталось максимизировать это выражение при следующих условиях:
- правдивость, что равносильно неубыванию
;
- рациональность, что равносильно
, то есть если у агента собственная ценность
, то он должен заплатить не больше
, чтобы не быть в убытке.
Все эти равносильности уже объяснялись в лекции "Теорема об эквивалентности доходности" .
Введем для упрощения записи понятие виртуальной ценности предмета для агента :
![\psi_i(x_i)=x_i - \frac{1-F_i(x_i)}{f_i(x_i)}.](/sites/default/files/tex_cache/fb096ea15dbe657dd9bff6452d22cd63.png)
Смысл виртуальной ценности в том, что продавец должен максимизировать , если хочет быть оптимальным. Заметим, что если максимизировать
, то он будет эффективным — вот и вся разница между эффективностью и оптимальностью.
Докажем, что :
![\mathbf E[\psi_i(X_i)]=\mathbf E(X_i)-\int_{X_i} \frac{1-F_i(x_i)}{f_i(x_i)}f(x_i)dx_i=\mathbf E(X_i)-\int_{X_i}\left(1-F_i(x_i)\right)dx_i.](/sites/default/files/tex_cache/4c145ae11ddeb5fb44c6a4a425b20031.png)
Рассмотрим теперь отдельно интеграл справа. Поменяем порядок интегрирования, как уже было сделано в показанном на рис. 5.2 случае:
![\int_0^{\omega_i}\left(1-F_i(x_i)\right)dx_i = \int_0^{\omega_i}\left(\int_{x_i}^{\omega_i} f(y)dy\right)dx_i = \\ = \int_0^{\omega_i}\left(\int_0^y dx_i\right)f(y)dy = \int_0^{\omega_i} f(y)ydy = \mathbf E(X_i).](/sites/default/files/tex_cache/eaeecf61a4a28146642533094afb6e8b.png)
Таким образом мы получили, что математическое ожидание виртуальной ценности каждого агента равно нулю.
Будем называть задачу дизайна механизмов регулярной, если является возрастающей функцией от
для любого
. Это эквивалентно тому, что функция риска
возрастает, так как
![\psi_i(x_i) = x_i - \frac1{\lambda_i(x_i)}.](/sites/default/files/tex_cache/4d689d99f07fbc9c4c5ff84452f0b1c1.png)
В дальнейшем мы будем рассматривать только регулярные задачи.
Запишем ожидаемый доход продавца в терминах виртуальных ценностей:
![\mathbf E[R]=\sum_{i=1}^Nm_i(0)+\sum_{i=1}^N\int_{\mathcal X}\psi_i(x_i)Q_i(\mathbf x)f(\mathbf x)d\mathbf x.](/sites/default/files/tex_cache/ddd9f59e7f8dc4bbd74e06cdb453b811.png)
Рассмотрим подынтегральное выражение .
похожа на весовую функцию, взвешивающую
. Резонно было бы дать максимальный вес максимальному
(если он положительный), а про остальные забыть. Это максимизировало бы функцию в каждой точке, а значит, и интеграл тоже. Это и будет идеей конструкции, но нам еще придется учесть ограничения (правдивость и рациональность).
Итак, рассмотрим прямой механизм , у которого выполняются следующие свойства:
- Функция распределения
распределяет объект покупателю
с положительной вероятностью тогда и только тогда, когда у него максимальная и неотрицательная виртуальная ценность:
.
Если покупателей с максимальным
несколько, то на них может быть любое положительное распределение
, то есть просто не важно, кому именно из них достанется объект.
- Плата
определяется следующим образом:
.
Такая функция платы нужна для того, чтобы выполнялось условия рациональности.
Оказывается, что (при условии регулярности) это и есть оптимальный механизм.
Теорема 5.1. Для регулярной задачи дизайна механизмов механизм , где
![Q_i(\mathbf x)&=&\begin{cases}
1, & \psi_i(x_i)\ge\max_{j\neq i}\psi_j(x_j)\text{ и }\psi_i(x_i)\ge
0,\\
0, & \text{в противном случае},\end{cases} \\
M_i(\mathbf x)&=&Q_i(\mathbf x)x_i - \int_0^{x_i}Q_i(z_i,\mathbf x_{-i})dz_i,](/sites/default/files/tex_cache/b3b86401e3bbb02547824491990386e7.png)
является правдивым, рациональным и оптимальным среди всех рациональных3Конечно, если разрешить аукционеру принудительно собирать любую сумму с агентов-участников, можно получить доход и побольше. Но мы все же предполагаем, что находимся на свободном рынке, и агенты вольны выбирать, участвовать им в аукционе или нет. Следовательно, нас интересуют только рациональные аукционы — остальные просто останутся без участников..
Доказательство. Во-первых, покажем правдивость построенного нами механизма. Пусть . Тогда, по регулярности,
, и, значит,
![\forall\mathbf x_{-i}\quad Q_i(z_i,\mathbf x_{-i})\le Q_i(x_i,\mathbf x_{-i}).](/sites/default/files/tex_cache/56841832775c3c65ec05fe55ca734382.png)
Значит, неубывающая, то есть механизм правдивый.
Во-вторых, покажем рациональность. Очевидно, что
![M_i(0,\mathbf x_{-i})=0.](/sites/default/files/tex_cache/d31360edaaeb3303f5fab2b83fd6f9be.png)
Значит, , и механизм рациональный. Заметим, что форма платы
в данном случае полностью задана распределением
;
определена с точностью до константы, которую мы изначально приняли такой, чтобы выполнялось
.
Таким образом, это рациональный и правдивый механизм. Кроме того, он оптимален, так как максимизирует каждое из двух слагаемых формулы дохода продавца по отдельности. Во-первых, он максимизирует , потому что
для всех рациональных механизмов, а в нашем
. Во-вторых, он максимизирует
в каждой точке, потому что дает весь имеющийся вес
агенту с максимальной виртуальной ценностью
. Значит, он максимизирует и
![\mathbf E[R]=\sum\limits_{i=1}^Nm_i(0)+\sum\limits_{i=1}^N\int_{\mathcal X}\psi_i(x_i)Q_i(\mathbf x)f(\mathbf x)d\mathbf x](/sites/default/files/tex_cache/f8200da1d72730431f18a99c8c76c0d3.png)
Давайте теперь изучим то, что у нас получилось. Максимальный доход нашего оптимального аукциона получается по простой формуле:
![\max\mathbf E[R] = \mathbf E\left[\vphantom{1^2}\max\{\psi_1(X_1),\ldots,\psi_N(X_N),0\}\right].](/sites/default/files/tex_cache/e5643220603aac8050e7141720d53921.png)
Ноль добавляется на случай, если все виртуальные ценности окажутся отрицательными.
Проанализируем теперь, сколько придется заплатить победителю такого аукциона. Рассмотрим новые функции
![y_i(\mathbf x_{-i}) = \inf\{z_i\mid \psi_i(z_i)>0\ \text{и}\ \forall j\neq i\ \psi_i(z_i)\ge \psi_j(x_j)\}.](/sites/default/files/tex_cache/5bec476c03ce3e3b6d4d2ecf458842b1.png)
Это минимальное значение ставки игрока , которое позволит ему выиграть аукцион (даст ему положительную виртуальную ценность, которая окажется больше, чем виртуальные ценности всех других участников). Тогда определение правила распределения
можно переписать как
![Q_i(z_i,\mathbf x_{-i})=\begin{cases} 1, & z_i>y_i(\mathbf x_{-i}),\\ 0, & z_i<y_i(\mathbf x_{-i}).\end{cases}](/sites/default/files/tex_cache/2f7403c041fcf142e0ddfd2239770d5f.png)
![\int_0^{x_i}Q_i(z_i,\mathbf x_{-i})dz_i = \begin{cases} x_i-y_i(\mathbf x_{-i}), & x_i>y_i(\mathbf x_{-i}),\\ 0, & x_i<y_i(\mathbf x_{-i}).\end{cases}](/sites/default/files/tex_cache/ec45ffec1487656889a511e3256d9edb.png)
Значит, правило выплаты можно с использованием функций
переписать как
![M_i(\mathbf x) = \begin{cases} y_i(\mathbf x_{-i}), & x_i>y_i(\mathbf x_{-i}),\\ 0, & x_i<y_i(\mathbf x_{-i}).\end{cases}](/sites/default/files/tex_cache/098cc67bec0c15fe745a4dea95cb68f9.png)
Иначе говоря, только победитель что-то платит, и он платит минимальную ставку , достаточную, чтобы обеспечить ему выигрыш. Но это в точности основной принцип аукциона второй цены! Значит, выше мы доказали, что оптимальный аукцион при продаже одной вещи нейтральным к риску агентам — это аукцион Викри с резервной ценой. Более того, из теоремы 5.1 можно извлечь и оптимальную резервную цену.
Рассмотрим для простоты симметричный случай: пусть все агенты симметричны, то есть плотности распределения ценностей равны. Тогда все виртуальные ценности
. Тогда получаем, что
![y_i(\mathbf x_{-i}) = \max\left\{\max\limits_{j\neq i}x_j, \psi^{-1}(0)\right\}.](/sites/default/files/tex_cache/6f904f9038bc6e8cbc4689043e29ddd4.png)
Таким образом, победитель платит максимум из всех остальных ставок или резервную цену, если все остальные ставки меньше. Проще говоря, мы получили в точности аукцион второй цены с резервной ценой
![r = \psi^{-1}(0).](/sites/default/files/tex_cache/9bdd3d851e6d9e17dde64ed040d6f145.png)
Пример 5.3. Подсчитаем для равномерных распределений на
. Поскольку
![\psi(x) = x - \frac1{\lambda(x)},](/sites/default/files/tex_cache/a6e679a2df8a9a7973193de547b75e33.png)
то является корнем уравнения
![x=\frac1{\lambda(x)}.](/sites/default/files/tex_cache/95745023a13d5f5a369fcea374b6cadf.png)
Решим это уравнение, используя определение функции риска:
![x=\frac1{\lambda(x)}=\frac{1-F(x)}{f(x)}.](/sites/default/files/tex_cache/e2aa0ea35e69c416cd8e06dad51daaec.png)
Поскольку ценности распределены на , то
,
. Тогда получаем, что
. Иначе говоря, продавцу будет выгодно установить резервную цену в
. Здесь мы, конечно, предполагали, что упоминавшийся в предыдущем параграфе доход продавца от удержания вещи у себя (величина
) равен нулю.
Конец примера 5.3.