НОУ ИНТУИТ | Введение в алгебру. Лекция 7: Системы линейных уравнений

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 09.09.2007 | Уровень: специалист | Доступ: платный | ВУЗ: Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

|

Вам нравится? Нравится 69 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Приведение системы линейных уравнений с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду

Определение 3.5.1 (определение ступенчатой матрицы (системы)). Под ступенчатой системой линейных уравнений понимается система линейных уравнений со ступенчатой матрицей коэффициентов, т. е.:

все нулевые строки находятся в матрице ниже ненулевых строк;
если (0,...,0,a_ik,...,a_in), $a_{ik}\ne0$ - первый ненулевой элемент в i -й строке (называемый лидером i -й строки), то a_rs=0 для всех $i<r \le m$ , $1 \le s \le k$ (элементы a_rs=0 для всех мест (r,s), расположенных в строчках, ниже i -й, и в столбцах s=1,2,...,k ). Другими словами, лидер строки с большим номером стоит строго правее.

Определение 3.5.2. Ненулевая матрица $A\in\mM_{m,n}(K)$ имеет главный ступенчатый вид, если матрица A имеет ступенчатый вид, все лидеры ненулевых строк $a_{1l_1},a_{2l_2},...,a_{rl_r}$ ( $1 \leq l_1<...<l_r \leq n$ ) равны 1 и для каждого j, $1 \leq j \leq r$ , в l_j -м столбце матрицы A единственный ненулевой элемент - это $a_{jl_j}=1$ .

Примеры 3.5.3. Матрица

$\begin{pmatrix} \boldsymbol{1} & 1 & 2 & 1\\ 0 & 0 & \boldsymbol{1} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

имеет ступенчатый вид (выделены лидеры строк), но не главный ступенчатый вид.

Матрица

$\begin{pmatrix} \boldsymbol{1} & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & \boldsymbol{1} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

имеет главный ступенчатый вид.

Нулевая матрица имеет ступенчатый вид.

Матрица

$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ \boldsymbol{1} & 0 & 1\\ 0 & 0 & \boldsymbol{1} \end{pmatrix}$

не является ступенчатой (нулевая строка находится выше ненулевых строк).

Матрицы

$\begin{pmatrix} \boldsymbol{1} & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & \boldsymbol{1}\\ 0 & \boldsymbol{1} & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} \boldsymbol{1} & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & \boldsymbol{1}\\ 0 & 0 & 0 & \boldsymbol{1} \end{pmatrix}$

не являются ступенчатыми (лидер третьей строки находится не строго правее, чем лидер второй строки).

Замечание 3.5.4. Свойство быть ступенчатой матрицей алгоритмически (с помощью компьютера) распознаваемо.

Лемма 3.5.5. Пусть $\alpha=(a_1,a_2,...,a_n), \beta=(b_1,b_2,...,b_n)\in K^n$ , a_k - лидер строки $\alpha$ , b_l - лидер строки $\beta$ , $k \leq l$ , c_m - лидер строки $\alpha+\beta=(c_1,...,c_n)$ , c_i=a_i+b_i, $1 \leq i \leq n$ . Тогда:

$k \leq m$ ;
если k<m, то k=l.

Доказательство.

Так как
$\begin{alignat*}{2} \alpha &= (0,...,0,a_k,...,a_n), &\quad & a_k\neq 0, \\ \beta &= (0,...,0,b_l,...,b_n), && b_l\neq 0, \end{alignat*}$
$k \leq l$ , то
$\alpha+\beta=(0,...,0,a_k+b_k,...,a_n+b_n),$
и поэтому $k \leq m$ (если b_k=-a_k, то a_k+b_k=0, и тогда k<m ).
Пусть k<m. Если k<l, то b_k=0,
$\alpha+\beta=(0,...,0,a_k,...,a_n+b_n),\quad a_k\neq 0,$
и поэтому k = m, что противоречит k<m.

Итак, k=l.

Следствие 3.5.6. Пусть $\alpha,\beta_1,...,\beta_m\in K^n$ , $\alpha=(a_1,...,a_n)$ , $\beta_i=(b_{i1},...,b_{in})$ , $1 \leq i \leq m$ , $\alpha=\sum\limits_{j=1}^m \lambda_j\beta_j$ , $\lambda_j\in K$ , a_k - лидер строки $\alpha$ , $b_{l_i}$ - лидер строки $\beta_i$ . Тогда $k \geq \min\{l_i\}$ .

Теорема 3.5.7 (алгоритм Гаусса). Всякую систему линейных уравнений конечным числом элементарных преобразований 1-го и 2-го типов можно привести к ступенчатому виду (т. е. к системе линейных уравнений, матрица коэффициентов которой является ступенчатой матрицей).

Доказательство. Можно считать, что не все коэффициенты a_ij равны нулю и, более того, что при x_1 (т. е. в первом столбце матрицы коэффициентов) есть ненулевой элемент $a_{j1} \ne 0$ (в противном случае можно перейти к системе от переменных x₂,...,x_n ). Если a₁₁=0, то, переставляя 1 -е и j -е уравнения (строки расширенной матрицы) (т. е. совершая преобразование 2-го типа), приходим к случаю, когда $a_{11}'\ne 0$ .

Для i=2,3,...,m последовательно проведем преобразования 1-го типа

$(i)'=(i)-\frac{a_{i1}}{a_{11}}(1)$

(здесь $c=-\frac{a_{i1}}{a_{11}}$ ). Тогда

$a_{i1}'=a_{i1}-\frac{a_{i1}}{a_{11}}a_{11}=0.$

Рассматривая получившиеся $2\text{-е},...,m\text{-е}$ уравнения, если среди коэффициентов есть ненулевые (пусть k - первый столбец с ненулевым элементом a_lk' среди a_2k',...,a_mk' ), повторим нашу процедуру: переставим второе уравнение (строку) с l -м уравнением (строкой) и обеспечим нули ниже коэффициента a_2k'.

Этот процесс остановится в том случае, когда все коэффициенты при переменных в оставшихся уравнениях равны нулю.

Итак, окончательная получившаяся система линейных уравнений будет иметь ступенчатый вид (т. е. матрица коэффициентов при переменных x₁,x₂,...,x_n будет иметь ступенчатый вид).

$\begin{equation}\label{ep15} \left\{ \begin{array}{@{}l@{{}+...+{}}l@{{}+{}}l@{{}+{}}l@{{}+...+{}}l@{{}={}}l@{}} \boldsymbol{\bar{a}_{11}x_1} & ... & ... & ... & \bar{a}_{1n}x_n & \bar{b}_1,\\ 0x_1 & \boldsymbol{\bar{a}_{2k}x_k} & ... & ... & \bar{a}_{2n}x_n & \bar{b}_2,\\ \multicolumn{6}{c}{\dotfill}\\ 0x_1 & ... & \boldsymbol{\bar{a}_{sl}x_l} & ... & \bar{a}_{sn}x_n & \bar{b}_s,\\ \multicolumn{6}{c}{\dotfill}\\ 0x_1 & ... & ... & \boldsymbol{\bar{a}_{rt}x_t} & \bar{a}_{rn}x_n & \bar{b}_r,\\[2mm] \hline \rule{0pt}{6mm}0x_1 & ... & ... & ... & 0x_n & \bar{b}_{r+1},\\ \multicolumn{6}{c}{\dotfill}\\ 0x_1 & ... & ... & ... & 0x_n & \bar{b}_m. \end{array} \right.\vspace{-3mm} \end{equation}$

( 3.2)

Замечания 3.5.8.

Важный инвариант - число r уравнений в ступенчатом виде с ненулевыми коэффициентами при переменных, т. е. число "ступенек", $r\le m$ . Возможен случай r=m (т. е. блок уравнений с нулевыми коэффициентами при x₁,...,x_n отсутствует). Независимость числа r от способа приведения к ступенчатому виду будет установлена позже (это - ранг матрицы коэффициентов).
Можно было бы продолжить процесс приведения к ступенчатому виду для расширенной матрицы системы линейных уравнений.

Следствие 3.5.9. Всякая система линейных уравнений эквивалентна некоторой ступенчатой системе линейных уравнений.

Следствие 3.5.10. Каждую матрицу элементарными преобразованиями строк 1-го и 2-го типа можно привести к ступенчатому виду.

Дальше >>

Введение в алгебру

Введение в алгебру

Системы линейных уравнений

Приведение системы линейных уравнений с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Введение в алгебру

Введение в алгебру

Системы линейных уравнений

Приведение системы линейных уравнений с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду

Вопросы и ответы

Студенты