НОУ ИНТУИТ | Введение в алгебру. Лекция 7: Системы линейных уравнений

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 09.09.2007 | Уровень: специалист | Доступ: платный | ВУЗ: Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

|

Вам нравится? Нравится 69 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Эквивалентные системы линейных уравнений

Две системы линейных уравнений от одного набора x₁,..., x_n неизвестных и соответственно из m и p уравнений

$\begin{alignat*}{2} & (\textbf{I}) && \left\{ \begin{array}{@{}l@{}} a_{11}x_1+...+a_{1n}x_n=b_1,\\ \dotfill\\ a_{m1}x_1+...+a_{mn}x_n=b_m, \end{array} \right.\\[2mm] & (\textbf{II}) &\quad & \left\{ \begin{array}{@{}l@{}} a'_{11}x_1+...+a'_{1n}x_n=b'_1,\\ \dotfill\\ a'_{p1}x_1+...+a'_{pn}x_n=b'_p \end{array} \right. \end{alignat*}$

называются эквивалентными, если их множества решений $X_{\textbf{I}}$ и $X_{\textbf{II}}$ совпадают (т. е. подмножества $X_{\textbf{I}}$ и $X_{\textbf{II}}$ в Kⁿ совпадают, $X_{\textbf{I}}=X_{\textbf{II}}$ ). Это означает, что: либо они одновременно являются пустыми подмножествами $X_{\textbf{I}}=\varnothing=X_{\textbf{II}}$ (т. е. обе системы (I) и (II) несовместны), либо они одновременно непустые $X_{\textbf{I}} \ne \varnothing$ , $X_{\textbf{II}} \ne \varnothing$ и $X_{\textbf{I}}=X_{\textbf{II}}$ (т. е. каждое решение системы I является решением системы II и каждое решение системы II является решением системы I).

Пример 3.2.1.

Любые две несовместные системы от неизвестных x₁,...,x_n эквивалентны (в этом случае $X_1=\varnothing=X_2$ ).
Системы
$(\textbf{I})\quad \left\{ \begin{array}{@{}l@{}} x_1+x_2=1,\\ x_1-x_2=0, \end{array} \right. \qquad (\textbf{II})\quad \left\{ \begin{array}{@{}l@{}} 2x_1=1,\\ 2x_2=1 \end{array} \right.$
эквивалентны (при K= R ), поскольку
$X_{\textbf{I}}=\left\{\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\right\}= X_{\textbf{II}}.$

Метод Гаусса

План алгоритма, предложенного Гауссом, был весьма прост:

применять к системе линейных уравнений последовательно преобразования, не меняющие множество решений (таким образом мы сохраняем множество решений исходной системы), и перейти к эквивалентной системе, имеющей "простой вид" (так называемую ступенчатую форму);
для "простого вида" системы (со ступенчатой матрицей) описать множество решений, которое совпадает с множеством решений исходной системы.

Отметим, что близкий метод "фан-чен" был известен уже в древнекитайской математике.

Элементарные преобразования систем линейных уравнений (строк матриц)

Определение 3.4.1 (элементарное преобразование 1-го типа). При $i\ne k$ к i -му уравнению системы прибавляется k -е уравнение, умноженное на число $c \in K$ (обозначение: (i)'=(i)+c(k) ; т. е. лишь одно i -е уравнение (i) заменяется на новое уравнение (i)'=(i)+c(k) ). Новое i -е уравнение имеет вид (a_i1+ca_k1)x₁+...+(a_in+ca_kn)x_n=b_i+cb_k, или, кратко,

$\sum_{j=1}^{n}a_{ij}'x_j=\sum_{j=1}^{n}(a_{ij}+ca_{kj})x_j=b_i+cb_k=b_i',$

т. е. в новом i -м уравнении a_ij'=a_ij+ca_kj, b_i'=b_i+cb_k.

Определение 3.4.2 (элементарное преобразование 2-го типа). При $i\ne k$ i -е и k -е уравнение меняются местами, остальные уравнения не изменяются (обозначение: (i)'=(k), (k)'=(i) ; для коэффициентов это означает следующее: для j=1,...,n

$a_{ij}'=a_{kj},\quad b_i'=b_k;\qquad a_{kj}'=a_{ij},\quad b_k'=b_i).$

Замечание 3.4.3. Для удобства в конкретных вычислениях можно применять элементарное преобразование 3-го типа: i -е уравнение умножается на ненулевое число $0 \ne c \in K$ , (i)'=c(i).

Предложение 3.4.4. Если от системы I мы перешли к системе II при помощи конечного числа элементарных преобразований 1-го и 2-го типа, то от системы II можно вернуться к системе I также элементарными преобразованиями 1-го и 2-го типа.

Доказательство.

Если $i \ne k$ и (i)'=(i)+c(k), то (k)'=(k), (i)=(i)'-c(k)=(i)'-c(k)'.
Если $i \ne k$ и (i)'=(k), (k)'=(i), то (i)=(k)', (k)=(i)'.

Замечание 3.4.5. Утверждение верно и с включением в число элементарных преобразований элементарного преобразования 3-го типа. Если $0 \ne c \in K$ и (i)'=c(i), то $0 \ne c^{-1} \in K$ и (i)=c^-1(i)'.

Теорема 3.4.6.После последовательного применения конечного числа элементарных преобразований 1-го или 2-го типа к системе линейных уравнений получается система линейных уравнений, эквивалентная первоначальной.

Доказательство. Заметим, что достаточно рассмотреть случай перехода от системы I к системе II при помощи одного элементарного преобразования и доказать для множеств решений включение $X_{\textbf{I}} \subseteq X_{\textbf{II}}$ (поскольку в силу доказанного предложения от системы II можно вернуться к системе I и поэтому будем иметь включение $X_{\textbf{II}} \subseteq X_{\textbf{I}}$ , т. е. будет доказано равенство $X_{\textbf{I}}=X_{\textbf{II}}$ ).

Случай 1, элементарное преобразование 1-го типа: (i)'=(i)+c(k), $i \ne k$ . Пусть $l=(l_1,...,l_n)\in X_{\textbf{I}}$ - решение первой системы. Проверим, что оно удовлетворяет новому i -му уравнению:

$\sum_{j=1}^n(a_{ij}+ca_{kj})l_j=b_i+cb_k.$

Действительно,

$\sum_{j=1}^n(a_{ij}+ca_{kj})l_j= \sum^n_{j=1}a_{ij}l_j+c\sum^n_{j=1}a_{kj}l_j=b_i+cb_k.$

Случай 2, элементарное преобразование 2-го типа: (i)'=(k), (k)'=(i), $i \ne k$ . Утверждение очевидно.

Замечание 3.4.7. Утверждение верно и для элементарного преобразования 3-го типа: (i)'=c(i), $c \ne 0$ . Действительно, подставляя решение $(l_1,...,l_n)\in X_{\textbf{I}}$ в новое i -е уравнение