НОУ ИНТУИТ | Введение в алгебру. Лекция 5: Поле C комплексных чисел

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 09.09.2007 | Уровень: специалист | Доступ: платный | ВУЗ: Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

|

Вам нравится? Нравится 69 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Аннотация: В данной лекции множество комплексных чисел. Приводится определение комплексного числа, примеры основных операций с комплексными числами, рассмотрена тригонометрическая форма записи комплексного числа. Рассмотрен ряд характерных задач, доказаны основные теоремы, а также приведены задачи для самостоятельного рассмотрения

Ключевые слова: поле, моноид, многочлен, комплексными числами, комплексного числа алгебраическая форма, Радиус-вектор, формулы перехода

Понятие числа является одним из основных понятий в математических теориях. К основным числовым системам принадлежат:

натуральные числа N (полукольцо);
натуральные числа с нулем $N_0= N\cup\{0\}$ (полукольцо с нулем);
целые числа Z (кольцо);
рациональные числа Q (поле);
действительные числа R (поле).

При этом

$N\subset N_0\subset Z\subset Q\subset R.$

Отметим, что рациональные числа Q и действительные числа R с операциями сложения и умножения являются полями . Напомним, что множество K с операциями сложения и умножения, $(K,+,\cdot)$ , называется полем, если:

операция сложения
- коммутативна ( $a+b=b+a \kvsp \forall a,b \in K$ );
- ассоциативна ( $(a+b)+c=a+(b+c) \kvsp \forall a,b,c \in K$ );
- существует нейтральный элемент 0 ( $0+a=a \kvsp \forall a \in K$ );
- $\forall a \in K$ существует противоположный элемент -a ( a+(-a)=0 )
(кратко, (K, +) - коммутативная группа);
операция умножения
- коммутативна ( $ab=ba \kvsp \forall a,b \in K$ );
- ассоциативна ( $(ab)c=a(bc) \kvsp \forall a,b,c \in K$ );
- существует нейтральный элемент 1 ( $1a=a \kvsp \forall a \in K$ ), $1\neq 0$
(кратко, $(K, \cdot)$ - коммутативный моноид);
имеет место дистрибутивность, связывающая операции сложения и умножения ( $(a+b)c=ac+bc \kvsp \forall a,b,c \in K$ ).

Условия 1), 2), 3) определяют коммутативное кольцо.
Имеет место обратимость ненулевых элементов ( $\forall a \in K,\ a\neq 0, \kvsp \exists b \in K \kvsp ab=1$ ).

Поле действительных чисел R, при всех его достоинствах, не является алгебраически замкнутым полем (т. е. многочлены с действительными коэффициентами могут не иметь действительных корней: например, многочлен x²+1 не имеет действительного корня). Нашей целью является построение расширения C поля действительных чисел R, $R\subset C$ , в котором есть такой элемент $i\in C$ , что i²=-1 (уравнение x²+1=0 имеет решение), при этом в некотором смысле это минимальное расширение с этим свойством. Построенное поле C окажется алгебраически замкнутым (алгебраическим замыканием поля R ).

Анализ ситуации

Допустим, что существует поле K, содержащее в качестве подполя поле действительных чисел, $R\subset K$ , и элемент $i\in K$ такой, что i²=-1. Тогда:

для $a,b,c,d\in R$ равенство a+bi=c+di выполнено тогда и только тогда, когда a=b, c=d
Доказательство. Если a+bi=c+di, то a-c=(d-b)i, поэтому (a-c)²=-(d-b)², следовательно, (a-c)²=0=(d-b)², т. е. a=c, b=d.
подмножество D всех элементов a+bi, $a,b\in R$ , замкнуто относительно операции сложения (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i, $0=0+0i\in D$ является в D нейтральным элементом, -(a+bi)=(-a)+(-b)i - противоположный элемент для a+bi. Итак, D относительно сложения - коммутативная группа.
подмножество D замкнуто относительно умножения (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.
(a+bi)(a-bi)=a²+b².
если $a+bi\neq 0$ , то a²+b²>0, и
$(a+bi)\left(\frac{a}{a^2+b^2}-\frac{b}{a^2+b^2}i\right)= \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2}=1,$
следовательно,
$(a+bi)^{-1}=\frac{a}{a^2+b^2}-\frac{b}{a^2+b^2}i$
для $a+bi\neq 0$ . Итак, D является подполем поля K, $R\subset D$ , $i\in D$ , D - наименьшее подполе в K, содержащее R и i.