Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 23.04.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3285 / 447 | Оценка: 4.18 / 3.71 | Длительность: 17:54:00
ISBN: 978-5-9556-0098-7
Специальности: Программист
Лекция 14:

Сжатие изображений с потерями

< Лекция 13 || Лекция 14: 12345

14.3. Изображение как функция

Будем рассматривать изображение как функцию двух переменных, определенную в точках конечного растра (имеется в виду точечная модель растра, см. определение "Основные понятия. Представление цвета в машинной графике" ). I(x, y) - значение атрибута пикселя (например номер в палитре, интенсивность), зависящее от цветовой модели представления изображения (см. рис. 14.1 и рис. 14.2). Множество таких функций на точках фиксированного конечного растра образуют конечномерное евклидово пространство RX,Y размерности m x n (|X|=m,|Y|= n) со скалярным произведением

(I_1, I_2) = \sum\limits_{i, j=0}^{m,n} {I_1(i, j) \cdot I_2(i, j)}.
Изображение как функция двух переменных

увеличить изображение
Рис. 14.2. Изображение как функция двух переменных

Будем отождествлять с таким пространством L2(X x Y ). В таком пространстве существует базис (см. [3]), т.е. такая система элементов \left\{e_k \right\}_{k=1}^{k=m \times n} из RX,Y и такой набор не равных одновременно нулю коэффициентов \left\{C_k \right\}_{k=1}^{k=m \times n}, что для любой функции I из этого пространства выполнено

I =\sum\limits_{k=0}^{m \cdot n} C_k e_k.

Если дополнительно предположить ортонормальность базиса, т.е.

(e_p, e_q) = { \left\{
 \begin{array}{cc}
0, & p \ne q\\
1, & p = q \\
\end{array}
\right },

то выполняется следующее соотношение:

Ck = (I, ek).

Дискретное Преобразование Фурье

Напомним определение двумерного дискретного преобразования Фурье функции I:

F(k, l) =\sum\limits_{p=0}^{m} \sum\limits_{q=0}^{n} I(p, q)e^{{- \frac{2 \pi ip}{m} k}e{- \frac{2 \pi iq}{n} l}}

для всех k = 1 . . .m, l = 1 . . . n. Обратное преобразование определяется так:

I(p, q)=\frac{1}{mn} \sum\limits_{k=0}^{m} \sum\limits_{l=0}^{n} F(k, l)e^{{- \frac{2 \pi ik}{m} p}e{- \frac{2 \pi il}{n} q}}.

Система функций \left\{e^{2\pi \left ( p\frac{k}{m} + q\frac{l}{n} \right )}\right\}_{k,l=0}^{m,n} образует базис в пространстве функций-изображений (см. [3]).

Такое преобразование очень популярно в области обработки изображений, однако в общем виде практически не используется для сжатия изображений из-за плохой частотно-пространственной локализации.

Дискретное косинусное преобразование

Рассмотрим определение дискретного косинусного преобразования (ДКП) [43]. Пусть изображение имеет размеры N x N. Прямое преобразование записывается так:

t(u, v) = c(u)c(v) \sum\limits_{k=0}^{N-1} \sum\limits_{l=0}^{N-1} I(k, l) \cos \frac{(2k + 1)u\pi}{2N} \cos \frac{(2l + 1)v\pi}{2N},
i, j = 0, . . . ,N - 1, c(i) = { \left\{
 \begin{array}{cc}
\sqrt{\frac{1}{N}}, & i = 0 \\
\sqrt{\frac{2}{N}}, & i \ne 0 \\
\end{array}
\right }.

Обратное преобразование имеет следующий вид:

I(k, l) = \sum\limits_{u=0}^{N-1} \sum\limits_{v=0}^{N-1} c(u)c(v) t(u, v) \cos \frac{(2k + 1)u\pi}{2N} \cos \frac{(2l + 1)v\pi}{2N},
i, j = 0, . . . ,N - 1, c(i) = { \left\{
 \begin{array}{cc}
\sqrt{\frac{1}{N}}, & i = 0 \\
\sqrt{\frac{2}{N}}, & i \ne 0 \\
\end{array}
\right }.

Дискретное преобразование обладает свойствами.

  • Некоррелированность коэффициентов. Коэффициенты независимы друг от друга, т.е. точность представления одного коэффициента не зависит от любого другого.
  • "Уплотнение" энергии (англ. energy compaction). Преобразование сохраняет основную информацию в малом количестве коэффициентов. Данное свойство сильнее всего проявляется на фотореалистичных изображениях.

Коэффициенты t(u, v) - это амплитуды пространственных частот изображения. В случае изображений с плавными переходами большая часть информации содержится в низкочастотном спектре ( "Дискретизация. Антиалиасинг. Геометрические преобразования растровых изображений" ).

Отметим, что применение дискретного косинус-преобразования эквивалентно применению дискретного преобразования Фурье примерно двойной длины к действительным (некомплексным) и четно симметричным данным (эквивалентность вытекает из того, что преобразование Фурье четной действительной функции четно и действительно).

< Лекция 13 || Лекция 14: 12345