Опубликован: 20.04.2011 | Доступ: свободный | Студентов: 1011 / 172 | Оценка: 4.36 / 4.36 | Длительность: 22:21:00
Лекция 11:

Многомерные системы с потерями

< Лекция 10 || Лекция 11: 1234 || Лекция 12 >
Аннотация: В этой лекции мы обобщаем классическую теорию телетрафика на решение задач в мультисервисных системах (например, цифровые сети интегрального обслуживания ISDN и B ISDN ). Каждый класс услуг соответствует потоку нагрузки. Несколько потоков нагрузки предлагаются одной и той же группе пучков каналов. В секции 10.1 мы рассматриваем классическую многомерную B-формулу потерь Эрланга. Это пример обратимого марковского процесса, который мы рассмотрим более детально в секции 10.2. В секции 10.3 мы проанализируем большее количество общих систем с потерями и стратегий, включая сервисную защиту (максимальное распределение каналов между сервисами) и мультислотовую нагрузку ( BPP ). Все модели имеют так называемую мультипликативную форму (форму произведения - product form ), и их числовая оценка очень упрощается при использовании алгоритма свертки для систем с потерями, реализованных специальной программой (секция 10.4). В секции 10.5 будут приведены другие алгоритмы для решения этой проблемы. Все модели, которые мы рассматриваем, основаны на гибком распределении каналов/слотов. Они могут быть обобщены на произвольные сети коммутации каналов с прямой маршрутизацией, где мы вычисляем вероятности блокировки из конца в конец (Лекция 11). Все модели нечувствительны к распределению времени обслуживания, и таким образом они устойчивы для приложений. В конце лекции поговорим о других алгоритмах.

Многомерная B-формула Эрланга

Мы рассматриваем группу n пучков каналов (каналы, слоты), которым предлагают два независимых PCT-I потока нагрузки: (\lambda_1, \mu_1) и (\lambda_2, \mu_3) . Предлагаемая нагрузка A_1 =\lambda_1/\mu_1, соответственно A_2 = \lambda_2 /\mu_2.

Обозначим состояние системы (i, j), где i - число вызовов от потока 1, а j - число вызовов от потока 2. Выполняются следующие ограничения:

0 \le i \le n,\\
0 \le j \le n,\\
0 \le i+j \le n. ( 10.1)

Диаграмма переходов состояний показана на рис.10.1. Согласно предположению о статистическом равновесии, вероятности состояний могут быть получены решением глобальных уравнений равновесия для каждого узла (уравнения узла), всего (n + 1) (n + 2)/2 уравнения.

 Двухмерная диаграмма переходов состояний для системы с потерями с n каналами, которым предлагают два PCT- I потока нагрузки.

Рис. 10.1. Двухмерная диаграмма переходов состояний для системы с потерями с n каналами, которым предлагают два PCT- I потока нагрузки.

Это эквивалентно диаграмме переходов состояний для системы с потерями M/H_2 /n, где гиперэкспоненциальное распределение H_2 дается в (10.7)

Как мы увидим в следующей секции, эта диаграмма соответствует обратимому марковскому процессу, который имеет локальное равновесие и, кроме того, решение имеет форму произведения ( product form ). Мы можем легко показать, что глобальные уравнения равновесия удовлетворяют следующим вероятностям состояния, которые могут быть записаны в форме произведения:

p(i,j)=p(i)*p(j),\\
=Q*\frac{A_i^1}{i!}*\frac{A_2^j}{j!}, ( 10.2)

где p (i) и p (j) - одномерные усеченные Пуассоновские распределения, Q - нормировочные константы, и (i, j) выполняют вышеупомянутые ограничения (10.1). Поскольку рассматриваются Пуассоновские потоки вызовов, которые обладают свойством PASTA (Пуассоновское поступление вызовов, наблюдаемое за среднее время), потери по времени, потери по вызовам и потери по нагрузке равны между собой для обоих потоков нагрузки, и они равняются P (i + j = n).

Биноминальным разложением или сверткой двух Пуассоновских распределений мы находим следующие объединенные вероятности состояний, где Q получено нормализацией:

p(i+j=x)=Q*\frac{(A_1+A_2)^x}{x!}, ( 10.3)
Q^{-1}=\sum_{v=0}^n\frac{(A_1+A_2)^v}{v!}. ( 10.4)

Это усеченное Пуассоновское распределение (7.9) с предложенной нагрузкой:

A=A_1+A_2 ( 10.5)

Мы можем также интерпретировать эту модель как систему Эрланга с потерями с одним Пуассоновским потоком вызовов и гиперраспределенными временами пребывания в системе следующим образом. Полный процесс поступления вызовов - суперпозиция двух Пуассоновских процессов с полной интенсивностью поступления:

\lambda=\lambda_1+\lambda_2, ( 10.6)

и распределение времени пребывания в системе является гиперраспределенным:

f(t)=\frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}*\mu_1*e^{-\mu_1t}+\frac{\lambda_2}{\lambda_1+\lambda_2}*\mu_2*e^{-\mu_2t}. ( 10.7)

Мы присваиваем веса эти двум экспоненциальным распределениям согласно относительному числу вызовов в единицу времени. Среднее время обслуживания и распределение времени пребывания в системе является гиперраспределенным:

m_1=\frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}*\frac{1}{\mu_1}+\frac{\lambda_2}{\lambda_1 +\lambda_2}*\frac{1}{\mu_2}=\frac{A_1+A_2}{\lambda_1+ \lambda_2},\\
m_1=\frac{A}{\lambda} ( 10.8)

и соответствует предложенной нагрузке.

Таким образом, мы показали, что система с потерями Эрланга справедлива для гиперраспределенных времен пребывания в системе.

Можно обобщить вышеупомянутую модель на N потоков нагрузки:

p(i_1, i_2, \dots, i_N)=Q*\frac{A_1^{i_1}}{i_1!}*\frac{A_2^{i_2}}{i_2!} \dots \frac{A_N^{i_N}}{i_N!}, 0 \le i_j \le n, \sum_{j=1}^Ni_j \le n, ( 10.9)

Данная модель является общей многомерной B-формулой Эрланга. Обобщая (10.3), мы замечаем, что глобальные вероятности состояния могут быть вычислены следующей рекурсией, где q(x) обозначает вероятность относительного состояния, и p(x) - абсолютные вероятности состояния:

q(x)=\frac 1x \sum_{j=1}^N A_j*q(x-1), q(0)=1, ( 10.10)
Q(n)=\sum_{i=0}^n q(i),\\
p(x)=\frac{q(x)}{Q(n)}, 0 \le x \le n. ( 10.11)

Если использовать рекурсию с нормированием (секция 7.4), то мы получаем рекурсивную формулу B- Эрланга. Формула (10.10) подобна уравнениям равновесия для Пуассоновского случая, когда:

A=\sum_{j=1}^NA_j

Потери по времени - E = p(n), и в соответствии со свойствами потока PASTA, потери по времени также равны потерям по вызовам и по нагрузке. Числовые оценки мы рассмотрим в секции 10.4. Многомерные системы были сначала упомянуты Эрлангом и более тщательно рассмотрены Иенсоном в Erlangbook (Jensen, 1948 ).

< Лекция 10 || Лекция 11: 1234 || Лекция 12 >
Нияз Сабиров
Нияз Сабиров

Здравствуйте. А уточните, пожалуйста, по какой причине стоимость изменилась? Была стоимость в 1 рубль, стала в 9900 рублей.

Елена Сапегова
Елена Сапегова

для получения диплома нужно ли кроме теоретической части еще и практическую делать? написание самого диплома требуется?