Московский государственный открытый университет им. В.С. Черномырдина
Опубликован: 20.01.2011 | Доступ: свободный | Студентов: 2281 / 489 | Оценка: 4.14 / 3.69 | Длительность: 27:06:00
Лекция 16:

Математические методы описания моделей конструкций РЭС. Некоторые понятия теории множеств

< Лекция 15 || Лекция 16: 1234 || Лекция 17 >

16.2. Действия над множествами

Над множествами, как и над другими математическими величинами, можно производить некоторые действия, например, выполнять пересечение множеств, их объединение, вычитание, находить дополнение, декартово произведение и прочее.

Пересечением множеств X и Y называют новое множество P, которое образуется из элементов, одновременно общих и множеству X, и множеству Y. Это можно показать так:

Пересечение множеств

Рис. 16.1. Пересечение множеств

Пересечение множеств X и Y записывают следующим образом:

P = X \cap   Y.

Это свойство носит название " конъюнкция" или "логическое умножение".

Если рассматривают пересечение нескольких множеств X_{1}, X_{2}, … X_{i} … … X _{r }, то математическая запись имеет вид

P = \bigcap\limits_{i=1}^{r}  X _{i},

где r - число пересекающихся множеств.

Операция пересечения множеств подчиняется переместительному закону, т.е. P = X  \cap   Y = Y \cap   X.

Если множества X и Y не пересекаются, то P = X \cap   Y = \varnothing.

С помощью операции пересечения множеств можно, например, выявить множество типоразмеров конструктивных элементов, общих печатным платам X и Y, или множество межплатных соединений для печатных плат X и Y, т.е. выявить любые множества, обладающие какими-либо общими свойствами.

Объединение множеств X и Y приводит к образованию нового множества Q, которое получается из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств X или Y.

На рисунке это можно представить так:

Объединение множеств

Рис. 16.2. Объединение множеств

Заштрихованная область - множество Q.

Математически объединение множеств X и Y записывают следующим образом:

Q = X  \cup  Y.

Это свойство носит название " дизъюнкция" или "логическое сложение".

Если рассматривать объединение нескольких множеств, то запись примет вид

Q = \bigcup_{i=1}^r{  X_{i }},

где r - число объединяемых множеств.

Операция объединения множеств, также как и операция пересечения, подчиняется переместительному закону.

С помощью этой операции можно подсчитать, например, число типоразмеров конструктивных элементов для печатных плат X и Y или общее число внешних электрических соединений печатных плат X и Y.

Разность множеств X и Y есть новое множество R, которое образуется из элементов множества X за исключением элементов, принадлежащих одновременно множеству Y.

На рис. 16.3. R - заштрихованная область.

Разность множеств

Рис. 16.3. Разность множеств

Математически разность множеств X и Y можно записать следующим образом:

R = X / Y.

С помощью этой операции можно выявить сугубо индивидуальные признаки объекта, например, число типоразмеров конструктивных элементов, принадлежащих только плате X.

Дополнением (или отрицанием) множества X по отношению к множеству Y называют множество \overline{X}, состоящее из элементов множества Y, не принадлежащих множеству X.

Схематически это изображается так (рис. 16.4):

Дополнение множеств

Рис. 16.4. Дополнение множеств

Множество \overline{X} - заштрихованная область. Двойное "отрицание" приводит к равенству множества самому себе: \overline{\overline{X}} = X.

С помощью операции дополнения множества можно выявить все дополнительные недостающие признаки проектируемого изделия и подвергнуть их анализу.

Декартовым произведением множеств X и Y называют множество Z упорядоченных пар (x, y), образованных элементами множеств X и Y:

Z = X  \times   Y.

На рис. 16.5 декартово произведение множеств X_{1} и Y_{2 } показано в виде заштрихованной области множества паросочетаний.

Декартово произведение   множеств

Рис. 16.5. Декартово произведение множеств

Декартово произведение двух множеств используют для исследования всевозможных паросочетаний.

Декартово произведение нескольких множеств

Z = X_{1} \times   X_{2} \times   … \times   X_{r} = \prod\limits_{i=1}^{r}{ X_{i}}

представляет собой множество r - строчек, каждая из которых образуется упорядоченной композицией элементов исходных множеств, т.е.

Z_{s} = (x_{1f}, x_{2j}, … , x_{r k}).

Операция декартова произведения множеств не обладает переместительным свойством, т.е. X \times   Y \ne  Y \times   X.

Разбиением множества X называют такое множество множеств \{X_{j}\}, где j \in  J, а J - некоторое множество индексов j, при котором:

  • X_{j  }\subset  X при всех j \in  J ;
  • X_{j  }\ne   \varnothing при всех j \in  J ;
  • X_{j }\cap  X_{i} = \varnothing при i  \ne   j ;
  • \cup   X_{j} = X. при j\in J.

Это можно прочитать так:

  • все подмножества X_{j} принадлежат исходному множеству X ;
  • все подмножества X_{j} не равны пустому множеству, т.е. обязательно должны содержать элементы;
  • сами подмножества не должны пересекаться, т.е. их пересечение равно пустому множеству ;
  • объединение всех подмножеств должно быть равно исходному множеству X.

Ряд прикладных задач разбиения множества конструктивных элементов высокого уровня на элементы более низкого уровня (например, задача разбиения множества микросхем блока РЭС на отдельные субблоки) сводится к операциям разбиения множеств.

Понятие пустого множества \varnothing  аналогично нулю в алгебре чисел. Действительно, если для любого числа " a " справедливо a \times   0 = 0 и a + 0 = a, то для любого множества X справедливо X \cap  \varnothing  = \varnothing и X \cup  \varnothing  = X.

Существует понятие множества 1, соответствующее единице в алгебре чисел. Такое множество обладает тем свойством, что пересечение с ним любого множества X даёт в результате это же множество X, т.е. X \times   1 = X по аналогии с a \times   1 = a.

Множество 1, обладающее этим свойством, называют универсальным или единичным множеством. В общем случае, если при некотором рассмотрении участвуют только подмножества некоторого фиксированного множества 1, то это самое большое множество и является универсальным.

В конкретных приложениях в качестве универсального множества могут использоваться различные общие подмножества.

Пример. Среди множества комплектов конструкторских документов на изготовление изделий РЭС полный комплект конструкторских документов на изготовление изделий является универсальным множеством этих документов или когда при рассмотрении множеств микросхем отдельных субблоков РЭС выделяют универсальное множество таких микросхем на всю данную радиоэлектронную систему в целом.

Универсальное множество обладает свойством, не имеющим аналога в алгебре чисел, а именно: для любого множества X справедливо соотношение X \cup  1 = 1.

В объединение этих множеств должны входить как элементы множества X, так и дополняющие элементы множества 1. Но, в свою очередь, все элементы множества X входят в универсальное множество 1, поэтому и объединение X \cup  1 равно универсальному множеству 1.

На основании этих рассуждений определяют дополнение множества X как \overline{X} = 1 / X. Двойное дополнение \overline{\overline{X}}= X.

С помощью операции дополнения можно в удобном виде представить разность множеств

X \ Y = \{x: x \in  X  \text{  и  }   x \notin  Y\} = \{x : x \in  X  \text{   и   }  x \in  \overline{Y} \},

т.е.

X \ Y = X \cap  \overline{Y} .

Многие определения теории множеств записывают в виде математических выражений, содержащих некоторые логические символы.

К числу таких символов относится символ следствия (импликации) " \Rightarrow ".

Например, запись X \subset  Y и Y \subset  Z \Rightarrow  X \subset  Z (транзитивность) читается так: если X \subset  Y и Y \subset  Z, то X \subset  Z.

Другие символы связаны с применением кванторов общности и кванторов существования.

Квантор общности - это операция, которая сопоставляет P(x) высказыванию: " Все x обладают свойством P(x) ". Для этой операции употребляют знак " \forall ".

Например, запись \forall x (P(x) \Rightarrow  Q(x)) свидетельствует о том, что все объекты, обладающие свойством P(x), обладают и свойством Q(x).

Квантор существования утверждает, что существует по крайней мере один объект x, обладающий одновременно свойствами P(x) и Q(x), т.е. P(x) и Q(x) пересекаются:

P(x) \cap  Q(x) \ne  \varnothing .

Квантор существования обозначается " \exists " и записывается так:

\exists  x ( P(x) \cap  Q(x) ). ( x) ))

В теории множеств используется понятие логической эквивалентности (в смысле то же самое, что и …), обозначаемой " \Leftrightarrow ". Например, запись

X \subset  Y \text{ и }Y \subset  X  \Leftrightarrow   X =Y

нужно читать: " Выполнение условий X \subset  Y и Y \subset  X то же самое, что и X = Y " или: " Выполнение условий X \subset  Y и Y \subset  X равносильно X = Y ".

< Лекция 15 || Лекция 16: 1234 || Лекция 17 >