Московский государственный открытый университет им. В.С. Черномырдина
Опубликован: 20.01.2011 | Доступ: свободный | Студентов: 2137 / 407 | Оценка: 4.14 / 3.69 | Длительность: 27:06:00
Лекция 16:

Математические методы описания моделей конструкций РЭС. Некоторые понятия теории множеств

< Лекция 15 || Лекция 16: 1234 || Лекция 17 >
Аннотация: Рассматривается методика использования основных понятий теории множеств при решении задач конструкторского проектирования.
Ключевые слова: знание, алгоритмическая, конструирование, входной, выходная информация, множества, свойства множества, элементы множества, способы задания множеств, список, бесконечное множество, произвольное, запись, непротиворечивость, равенство, интегральная схема, объект, мощность множества, Пустое множество, специальный символ, связь, место, пересечение множеств, объединение, вычитание, Дополнение, декартово произведение, пересечение, операции, объединение множеств, операция пересечения, разность множеств, отрицание, дополнение множества, декартово произведение множества, Паросочетание, прямое произведение множеств, композиция, разбиение множества, алгебра, Универсальное множество, очередь, операция дополнения, транзитивность, квантор общности, квантор существования, высказывание, булева переменная, числовой функцией, функция, значение, булева функция, операция отрицания, конъюнкция, дизъюнкция, тождество, коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность, предикат, отношение, бинарным отношением, размерность, отношение эквивалентности, функциональная группа, рефлексивность, подмножество, класс эквивалентности, отношение порядка, строгие порядки, антирефлексивность, антисимметричность, кортеж, отношение доминирования, отображение множества, отображение, выражение, область определения, координаты, значение функции, показатели качества, перестановка, Законы идемпотентности, Законы де Моргана

Изложить основные понятия теории множеств, знание которых является обязательным при современном конструкторском проектировании РЭС.

16.1. Определения

Математические методы, положенные в основу алгоритмических процессов конструирования РЭС, а также процессы организации входной и выходной информации о проектируемом объекте широко используют понятия и символы теории множеств.

Под множеством понимают совокупность объектов любой природы, называемых элементами данного множества, обладающих каким-либо общим для множества свойством.

В множестве, по определению, все элементы различны, а порядок перечисления элементов множества произвольный. Следовательно, совокупность элементов A = \{a, a, b, b\} не является множеством.

Существует два основных способа задания множеств: перечисление и описание.

Первый способ состоит в том, что задаётся и перечисляется полный список элементов, входящих в множество. Например, множество элементов схемы РЭС определяется их списком. Данный способ удобно применять только к ограниченному числу конечных множеств.

Второй способ применяется, когда множество нельзя или затруднительно задать с помощью списка (это может относиться к конечным и бесконечным множествам). В таком случае множества определяются свойствами их элементов.

Множество А считается заданным, если указано свойство \alpha, которым обладают все элементы, принадлежащие множеству А, и которым элементы, не принадлежащие множеству А, не обладают.

Если А - произвольное множество, а \alpha - некоторое свойство, то запись

А = \{b \in  B / \alpha   (b)\}

означает множество тех и только тех элементов b \in  B, которые обладают свойством \alpha.

При задании множеств вторым способом необходимо так задавать свойство, характеризующее элементы множества, чтобы оно было общим непротиворечивым для всех его элементов.

Как основное понятие теории, понятие множества не подлежит логическому определению.

Элементы множества могут иметь различную природу. Например, можно говорить о множестве микросхем, входящих в определённую конструкцию РЭС, или о множестве чертежей, входящих в полный комплект конструкторской документации для производства какого-либо изделия.

Множества обозначают заглавными буквами латинского алфавита: X, Y, Z и т.д., а элементы множества - соответствующими строчными буквами того же алфавита: x, y, z … или строчными буквами с индексами: x_{1}, x_{2}, …; y_{1}, y_{2}, … и т.д.

Равенство X = \{x_{1}, x_{2}, … , x_{n}\} свидетельствует о том, что элементы x_{1}, x_{2}, …, x_{n } являются элементами множества X.

Множество можно задавать не только перечислением его элементов, но и с помощью описательного способа, указывающего характерное свойство, которым обладают все элементы этого множества.

Например, если во всём множестве X микросхем электронного блока сложной радиоаппаратуры есть некоторое множество A гибридных интегральных схем, то это можно записать так:

А = {x \in  X: x - \text{гибридная ИС}\}.

Это читается так: множество A состоит из элементов x множества X, обладающих тем свойством, что x является гибридной интегральной схемой.

Здесь введено новое обозначение \in, означающее, что объект x является элементом множества X. Если же некоторый объект y не принадлежит множеству X, то это условие записывают в виде y \notin  X.

В том случае, когда не вызывает сомнения, из какого множества берутся элементы x, принадлежность их к множеству X можно не указывать.

Например, известно, что множество гибридных интегральных схем входит во множество микросхем того же самого электронного блока, тогда запись будет иметь вид

A = \ x: x \text{- гибридная ИС}\ .

Число элементов множества X = \ x_{1}, x_{2}, … , x_{n}\ называют мощностью этого множества и обозначают прямыми скобками, например, X  = n.

Если число элементов множества X конечно, то такое множество называют конечным.В противном случае множество будет бесконечным.

В теории множеств вводится понятие пустого множества, в котором не содержится ни одного элемента.

Пустое множество обозначают специальным символом \varnothing. Например, если множество X пусто, то пишут X =  \varnothing.

Последовательность из n элементов множества называют n - строкой. В отличие от обычного множества, где порядок элементов безразличен, в n - строке обязательно задаётся их определённая последовательность.

Множество X равно множеству Y, если оба эти множества состоят из одних и тех же элементов.

Если множество X полностью содержится во множестве Y и при этом X   \le   Y, то говорят, что множество X является подмножеством множества Y:

X  \subset   Y .

Следовательно, мы рассмотрели два соотношения:

- принадлежность x \in  X ;

- включение X \subset  Y.

Первое определяет связь между множеством и его элементами, а второе - между двумя множествами.

В случае, когда X \subset  Y и, одновременно, Y \subset  X, имеет место равенство X = Y, т.е. множества X и Y совпадают.

Символическая запись X \ne  Y означает, что множество X не совпадает с множеством Y.

< Лекция 15 || Лекция 16: 1234 || Лекция 17 >