Московский государственный открытый университет им. В.С. Черномырдина
Опубликован: 20.01.2011 | Доступ: свободный | Студентов: 2118 / 390 | Оценка: 4.14 / 3.69 | Длительность: 27:06:00
Лекция 18:

Характеристические числа графов и их применение в конструкторском проектировании РЭС

< Лекция 17 || Лекция 18: 12 || Лекция 19 >
Аннотация: Рассматриваются некоторые характеристические числа графа, позволяющие в ряде случаев упростить решение задач исследования топологических свойств графа.
Ключевые слова: знание, цикломатическое число, хроматическое число, число внутренней устойчивости графа, число внешней устойчивости графа, Неориентированный граф, компонента связности, ранг, дерево, Лес, Несвязный граф, топология, коммутационная пространство, ребро, граф, вершины графа, значение, бихроматическое, двудольный граф, множество вершин, Обыкновенным графом, бихроматический граф, полный граф, вершина, подмножество, критический граф, инцидентность, простой цикл, определение, линейное программирование, нижняя граница, Связный граф, коммутационное поле, верхняя граница, печатный монтаж, коммутация, планарный граф, евклидово пространство, место, принципиальная схема, плоский граф, гамильтонов цикл, неплоский граф, число планарности графа, толщина графа, критерий бипланарности графа, переносимость, критерии оптимизации, электрическая схема, целевая функция, минимум, плоскость, поле

Изложить основные понятия теории графов, знание которых является обязательным при современном конструкторском проектировании РЭС.

Рассмотрим некоторые характеристические числа графа, позволяющие в ряде случаев упростить решение задач исследования топологических свойств графа. К таким числам, не зависящим от изоморфных преобразований, относятся: цикломатическое v(G) и хроматическое k(G) числа, числа внутренней \alpha(G) и внешней \beta(G) устойчивости графа.

18. 1. Цикломатическое число

При рассмотрении произвольного неориентированного графа G(X, U) без петель с X | = n и U   = r , состоящего из " р " компонент связности, величину

v(G) = r - n + p ( 18.1)

называют цикломатическим числом графа.

Иногда вводят понятие ранга графа

R(G) = n-p. ( 18.2)

В этом случае цикломатическое число

v(G) = r-R(G). ( 18.3)

Цикломатическое число графа указывает то наименьшее число рёбер, которое нужно удалить из данного графа, чтобы получить дерево (для связного графа) или лес (для несвязного графа), т.е. добиться отсутствия у графа циклов.

Цикломатическое число всегда неотрицательно.

Основное свойство цикломатического числа формулируется в виде теоремы:

Цикломатическое число мультиграфа равно максимальному числу независимых циклов.

Знание цикломатического числа оказывается полезным при анализе топологии электронных схем, а также для решения целого класса задач конструкторского проектирования РЭС.

Пример. Если рассматривать конструкцию печатной платы, то схему электрических соединений можно интерпретировать графом G (X, U), где X - множество областей контактных площадок, внутри которых проведение проводников запрещено, a U - множество трасс.

При этом всё коммутационное пространство разбивается проведёнными соединениями на отдельные, локально замкнутые области

Q = {q_{1} , q_{2 }, ...,q_{g}}. ( 18.4)

Любые две вершины х_{i }, x_{j} \in  X, находящиеся в различных областях q_{s} , q_{i} \in  Q, не могут быть соединены ребром u_{k} \in  U без пересечения рёбер (соединений), ограничивающих области q_{s} и q _{t }.

В связи с этим возникает необходимость контроля непопадания смежных вершин в различные изолированные области.

Цикломатическое число v (G) позволяет определить число таких локально замкнутых областей и перейти к решению задачи рационального перераспределения рёбер графа G (X, U).

18. 2. Хроматическое число

Пусть, задан граф G (X, U) без петель. Разобьём множество его вершин на k непересекающихся подмножеств

X_{1},  X_{2}, … , X_{k},  X =\bigcup\limits_{i=1}^k{X_i}, \forall X_{i}, X_{j} \subset X; [X_{i}\cap X_{j}=\varnothing] ( 18.5)

так, чтобы любые две смежные вершины x_{s} , x_{t} \in  X принадлежали разным подмножествам, т.е. чтобы рёбра графа G (X, U) соединяли вершины из разных подмножеств

\forall X_s \in X[X_s\in X_i \Leftarrow ГX_s \not\subset X_i] ( 18.6)

Отметим все вершины x индексами 1,2, ... , k (т.е. раскрасим вершины k цветами), причём вершины внутри каждого подмножества X_{j} помечают одним индексом (раскрашивают одним цветом). Подмножества формируют таким образом, чтобы концы любого ребра графа имели различные индексы.

Наименьшее возможное число подмножеств, получаемое в результате такого разбиения вершин графа G (X, U), называют хроматическим числом графа k (G), граф G (X, U) называют k - хроматическим,а выражения (18.5) и (18.6)- хроматическим разложением X.

Особое значение имеет частный вид k - хроматического графа - бихроматический или двудольный граф, для которого множество вершин X можно разбить на два непересекающихся подмножества X_{1} и Х_{2} так, чтобы никакое ребро не соединяло бы вершины одного и того же подмножества, т.е.

X = X_{1}\cup X_{2},   X_{1}\cap X_{2}; ( 18.7)
\forall x_{i} , x_{j}\in X [(x_{i} , x_{j}) = u_{f }\in U \Leftarrow  (x_{i}\in X_{1 }& x_{j}\in X_{2})\cup (x_{i}\in X_{2} & x_{j}\in X_{1})].

Такие графы называют графами Кёнига и обозначают G(X_{1},X_{2},U).

Критерий бихроматичности произвольного графа формулируется теоремой Кёнига, согласно которой обыкновенный граф G (X, U) является бихроматическим тогда и только тогда, когда он не содержит циклов нечётной длины.

Если граф G (X, U) - дерево, т.е. в нём полностью отсутствуют циклы (существуют лишь циклы нулевой длины), то он является бихроматическим графом и может быть представлен в виде двудольного графа (рис. 18.1).

Граф Кёнига G (X_{1}, Х_{2}, U) называют полным, если каждая вершина x_{i} \in  X_{1} смежна с каждой вершиной x_{j} \in  X_{2}, и наоборот.

Пример двудольного графа

Рис. 18.1. Пример двудольного графа

Пример. Рассмотрим пример бихроматического графа G (X_{1}, X_{2}, U), у которого

Бихроматический  граф

Рис. 18.2. Бихроматический граф

При добавлении к этому графу рёбер (х_{2} x_{6}), (х_{2} x_{8}), (х_{3} x_{5}), (х_{3} x_{7}) и (х_{4} х_{5}) получим полный бихроматический граф. Очевидно, что подмножество X_{1} множества вершин X можно раскрасить в один цвет, а Х_{2} - в другой.

Число рёбер полного бихроматического графа G (X_{1} , Х_{2}, U)

r =  U  =  x_{1}  x_{2} .

При составлении целого ряда алгоритмов проектирования РЭС используют операцию удаления некоторых вершин и рёбер графа. При этом особое значение приобретает понятие критического графа.

Граф G (X, U) называют критическим, если удаление любой вершины x_{i} \in  X с инцидентными ей рёбрами уменьшает хроматическое число графа.

Критическим 1 - хроматическим графом является одна вершина; критическим 2 - хроматическим - две вершины, соединённые ребром; критическим 3 - хроматическим - простой цикл нечётной длины, так как при удалении из него любой вершины с инцидентными ей рёбрами получим двудольный граф. Очевидно, что полный граф всегда является критическим, причём его хроматическое число равно

k(G) =  X   = n .

В отличие от цикломатического числа определение хроматического числа осуществляется с помощью сравнительно сложных алгоритмов, в основу большинства которых положены методы целочисленного линейного программирования.

Оценка хроматического числа через число вершин графа G (X, U) имеет вид:

1 \le  k(G)  \le   X  = n .

В этом выражении нижняя граница соответствует пустым, а верхняя - полным графам.

На практике для простых связных графов оценить величину k (G) можно следующим образом.

Сначала выбираем вершину с минимальной локальной степенью и пометим (раскрасим) её, затем произведём хроматическую раскраску вершин, смежных с данной, и так далее.

Например, для графа на рис. 18.2, б сначала выбираем вершину х_{3}, для которой \rho (х_{3}) = 1, и раскрасим её в красный цвет. Тогда вершину х_{2} можно раскрасить в синий цвет, а вершины х_{1} и x_{5} - в красный (они не смежны с х_{3} ). Вершины х_{6} и х_{8} можно раскрасить в синий цвет, а оставшиеся вершины х_{4} , x_{7} и x_{9} - в жёлтый. На раскраску вершин графа пошло три краски k (G) = 3.

Знание хроматического числа графа позволяет в ряде случаев упростить алгоритмы, используемые на этапе конструкторского проектирования РЭС.

Пример. Рассмотрим задачу оценки числа слоёв многослойной печатной платы. Пусть, граф G (X, U) интерпретирует фрагмент коммутационного поля платы, где х - множество областей контактных площадок конструктивных элементов, внутри которых проведение проводников запрещено, a U - множество трасс платы.

Построим граф пересечений Q (Y, V), в котором вершинами являются отдельные компоненты связности (электрические цепи) графа G (X, U), причём у_{i}, y_{j} \in  Y смежны, если соответствующие им компоненты связности G_{i} (X_{i }, U_{i}) и G_{j} (X_{j }, U_{j}) перекрывают друг друга.

При этом хроматическое число k (Q) графа Q (Y, V) определит верхнюю границу числа коммутационных слоев рассматриваемого фрагмента платы (в нашем примере k (Q) = 2 ). В этом случае цепи, соответствующие вершинам одного цвета графа Q (Y, V), можно располагать в одном слое печатной платы.

< Лекция 17 || Лекция 18: 12 || Лекция 19 >
Дмитрий Плаксин
Дмитрий Плаксин
Киргизстан
Владимир Старостин
Владимир Старостин
Россия, Москва, 179, 1975