Математические методы описания моделей конструкций РЭС. Некоторые понятия теории множеств
16.3. Основные свойства операций над множествами
Эти свойства получены на основе булевой алгебры и булевых функций.
Объекты с двумя возможными состояниями характеризуются булевыми переменными, которые способны принимать лишь два различных значения. Для обозначения этих двух значений обычно используются цифры 0 и 1 или буквы Л (ложно) и И (истинно).
Отношения между булевыми переменными представляются булевыми функциями, которые, подобно числовым функциям, могут зависеть от одной, двух и, вообще, переменных (аргументов).
Основными в двузначной логике являются следующие три функции: отрицание, дизъюнкция и конъюнкция. Выше уже говорилось о них, но можно ещё раз уделить некоторое внимание первой. Отрицание - функция , принимающая значения
, когда
, и значение
, когда
; она обозначается
(читается "не x").
Множество всех булевых функций вместе с операциями отрицания, конъюнкции и дизъюнкции образует булеву алгебру.
На основе определения основных операций нетрудно убедиться в справедливости следующих тождеств (свойств) булевой алгебры:
Приведённые свойства позволяют получить ряд других важных законов и тождеств, например, таких как:
-
Законы идемпотентности
.
-
Законы де Моргана
.
16.4. Отношения множеств. Виды отношений и их свойства
Элементы множества, как правило, находятся в каком-либо отношении друг относительно друга. Эти отношения можно задать в виде неполных предложений - предикатов, например, "меньше, чем …", "больше, чем …", "эквивалентно", "конгруэнтно" и т. д.
Тот факт, что некоторый элемент находится в каком-либо отношении к элементу того же множества
, математически записывают как
, где
- символ отношения.
Отношение из двух элементов множества называют бинарным. Бинарные отношения множеств
и
представляют собой некоторое множество упорядоченных пар
, образованных декартовым произведением
. В общем случае, можно говорить не только о множестве упорядоченных пар, но и о множестве упорядоченных троек, четвёрок элементов и тому подобное, т.е. о
- парных отношениях, получаемых в результате декартова произведения
![X_{1} \times X_{2} \times … \times X_{n},](/sites/default/files/tex_cache/e0fc108f778e322fbaeb66008708de1d.png)
Рассмотрим некоторые виды отношений - отношения эквивалентности, порядка и доминирования.
Некоторые элементы множества можно считать эквивалентными в том случае, когда любой из этих элементов при определённых условиях можно заменить другим, т.е. данные элементы находятся в отношении эквивалентности.
Примерами отношений эквивалентности являются отношения параллельности на множестве прямых какой-либо плоскости; подобия на множестве треугольников; принадлежности к одной функциональной группе микросхем или к одному классу типоразмеров и другие.
Термин " отношение эквивалентности " применяют при выполнении следующих условий:
- каждый элемент эквивалентен самому себе;
- высказывание, что два элемента являются эквивалентными, не требует уточнения того, какой из элементов является первым, а какой - вторым;
- два элемента, эквивалентные третьему, эквивалентны между собой.
Для обозначения эквивалентности используется символ " ". Тогда рассмотренные условия можно записать следующим образом:
Следовательно, отношение называют отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Пусть, некоторому элементу эквивалентно некоторое подмножество элементов
, тогда это подмножество образует класс эквивалентности, эквивалентный
.
Все элементы одного и того же класса эквивалентности эквивалентны между собой (свойство транзитивности). Тогда всякий элемент может находиться в одном и только одном классе эквивалентности, т.е. в этом случае множество
разбивается на некоторое непересекающееся подмножество классов эквивалентности
![\{ A_{j }\subseteq X: j \in J\},](/sites/default/files/tex_cache/80cedc6a5ca2f5caa689486771b1c319.png)
где - некоторое подмножество индексов.
Таким образом, каждому отношению эквивалентности на множестве соответствует некоторое разбиение множества
на классы
.
Рассмотрим отношения, которые определяют некоторый порядок расположения элементов множества.
Например, в процессе автоматизированного конструирования требуется вводить множество одних исходных данных раньше или позже, чем множество других.
При этом может оказаться, что элементы одного множества больше или меньше элементов другого и так далее.
Во всех этих случаях можно расположить элементы множества или группы элементов в некотором порядке (в виде убывающей или возрастающей последовательности),
т.е. ввести отношение порядка на множестве
.
Различают отношения строгого порядка, для которых применяют символы " ", "
", "
", и отношения нестрогого порядка, где используют символы "
", "
".
Эти отношения характеризуются следующими свойствами:
Для отношения строгого порядка:
-
- ложно (антирефлексивность);
-
и
- взаимоисключаются (несимметричность);
-
и
- истина (транзитивность).
Для отношения нестрогого порядка:
Множество называют упорядоченным, если любые два элемента
и
этого множества сравнимы, т.е. для них выполняется одно из условий:
![x < y, x = y, y < x.](/sites/default/files/tex_cache/3bd8aac7735ce37ec9febc3802e0faa4.png)
Упорядоченное множество называют кортежем. В общем случае, кортеж - это последовательность элементов, т.е. совокупность элементов, в которой каждый элемент занимает вполне определённое место. Элементы упорядоченного множества называются компонентами кортежа.
Примерами кортежа может служить упорядоченная последовательность чисел арифметической или геометрической прогрессий, последовательность технологических операций при изготовлении какого-либо радиоэлектронного изделия, упорядоченная последовательность установочных позиций печатной платы для закрепления конструктивных элементов.
Во всех этих множествах место каждого элемента вполне определено и не может произвольно изменяться.
При обработке конструкторской информации на ВТ часто применяют отношения доминирования. Говорят, что доминирует над
, т.е.
, если элемент
в чём-либо превосходит (имеет приоритет) элемент
того же множества.
Например, под можно понимать один из списков данных, который должен поступить на обработку первым. При анализе нескольких конструкций РЭС какой-либо из них должен быть отдан приоритет, так как эта конструкция обладает, например, лучшими свойствами, чем другие, т.е. конструкция
доминирует над конструкцией
.
Свойство транзитивности при этом не имеет места. Если, например, конструкцию по каким-либо одним параметрам предпочли конструкции
, а конструкцию
по каким-либо другим параметрам предпочли конструкции
, то отсюда ещё не следует, что конструкции
должно быть отдано предпочтение по сравнению с конструкцией
.