Московский государственный открытый университет им. В.С. Черномырдина
Опубликован: 20.01.2011 | Доступ: свободный | Студентов: 2281 / 489 | Оценка: 4.14 / 3.69 | Длительность: 27:06:00
Лекция 16:

Математические методы описания моделей конструкций РЭС. Некоторые понятия теории множеств

< Лекция 15 || Лекция 16: 1234 || Лекция 17 >

16.3. Основные свойства операций над множествами

Эти свойства получены на основе булевой алгебры и булевых функций.

Объекты с двумя возможными состояниями характеризуются булевыми переменными, которые способны принимать лишь два различных значения. Для обозначения этих двух значений обычно используются цифры 0 и 1 или буквы Л (ложно) и И (истинно).

Отношения между булевыми переменными представляются булевыми функциями, которые, подобно числовым функциям, могут зависеть от одной, двух и, вообще, n переменных (аргументов).

Основными в двузначной логике являются следующие три функции: отрицание, дизъюнкция и конъюнкция. Выше уже говорилось о них, но можно ещё раз уделить некоторое внимание первой. Отрицание - функция y = f (x), принимающая значения 1, когда x = 0, и значение 0, когда x = 1 ; она обозначается y = \overline{x} (читается "не x").

Множество всех булевых функций вместе с операциями отрицания, конъюнкции и дизъюнкции образует булеву алгебру.

На основе определения основных операций нетрудно убедиться в справедливости следующих тождеств (свойств) булевой алгебры:

  • Законы коммутативности
    X  \cup  Y = Y \cup   X;\\X  \cap  Y = Y \cap  X.
  • Законы ассоциативности
    X  \cup  (Y \cup   Z) = (X \cup   Y) \cup   Z;\\  X \cap   (Y \cap   Z) = (X  \cap  Y) \cap   Z.
  • Законы дистрибутивности
    X \cap   (Y \cup   Z) = (X \cap   Y) \cup   (X  \cap  Z);\\ X \cup   (Y  \cap  Z) = (X  \cup  Y) \cap   (X  \cup  Z)
  • и некоторые другие.

Приведённые свойства позволяют получить ряд других важных законов и тождеств, например, таких как:

  • Законы идемпотентности X \cup   X = X;\\ X \cap   X = X.
  • Законы де Моргана X \ (Y \cap   Z) = (X \  Y) \cup   (X \  Z);\\  X \ (Y \cup   Z) = (X \ Y) \cap   (X \ Z).

16.4. Отношения множеств. Виды отношений и их свойства

Элементы множества, как правило, находятся в каком-либо отношении друг относительно друга. Эти отношения можно задать в виде неполных предложений - предикатов, например, "меньше, чем …", "больше, чем …", "эквивалентно", "конгруэнтно" и т. д.

Тот факт, что некоторый элемент x_{i }\in  X находится в каком-либо отношении к элементу того же множества х_{j }, математически записывают как x_{i }R x_{j }, где R - символ отношения.

Отношение из двух элементов множества X называют бинарным. Бинарные отношения множеств X и Y представляют собой некоторое множество упорядоченных пар (x, y), образованных декартовым произведением X \times   Y. В общем случае, можно говорить не только о множестве упорядоченных пар, но и о множестве упорядоченных троек, четвёрок элементов и тому подобное, т.е. о n - парных отношениях, получаемых в результате декартова произведения

X_{1} \times   X_{2} \times   … \times   X_{n},

где n - размерность n - строчек.

Рассмотрим некоторые виды отношений - отношения эквивалентности, порядка и доминирования.

Некоторые элементы множества можно считать эквивалентными в том случае, когда любой из этих элементов при определённых условиях можно заменить другим, т.е. данные элементы находятся в отношении эквивалентности.

Примерами отношений эквивалентности являются отношения параллельности на множестве прямых какой-либо плоскости; подобия на множестве треугольников; принадлежности к одной функциональной группе микросхем или к одному классу типоразмеров и другие.

Термин " отношение эквивалентности " применяют при выполнении следующих условий:

  • каждый элемент эквивалентен самому себе;
  • высказывание, что два элемента являются эквивалентными, не требует уточнения того, какой из элементов является первым, а какой - вторым;
  • два элемента, эквивалентные третьему, эквивалентны между собой.

Для обозначения эквивалентности используется символ " \sim  ". Тогда рассмотренные условия можно записать следующим образом:

  • x \sim  x   (рефлексивность);
  • x \sim  y \Rightarrow  y \sim  x (симметричность);
  • x \sim  y  \text{ и } y \sim  z \Rightarrow  x \sim  z (транзитивность).

Следовательно, отношение R называют отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Пусть, некоторому элементу x \in  X эквивалентно некоторое подмножество элементов A \subset  X, тогда это подмножество образует класс эквивалентности, эквивалентный x.

Все элементы одного и того же класса эквивалентности эквивалентны между собой (свойство транзитивности). Тогда всякий элемент x\in X может находиться в одном и только одном классе эквивалентности, т.е. в этом случае множество X разбивается на некоторое непересекающееся подмножество классов эквивалентности

\{ A_{j }\subseteq  X:  j \in  J\},

где J - некоторое подмножество индексов.

Таким образом, каждому отношению эквивалентности на множестве X соответствует некоторое разбиение множества X на классы A_{j}.

Рассмотрим отношения, которые определяют некоторый порядок расположения элементов множества.

Например, в процессе автоматизированного конструирования требуется вводить множество одних исходных данных раньше или позже, чем множество других. При этом может оказаться, что элементы одного множества больше или меньше элементов другого и так далее. Во всех этих случаях можно расположить элементы множества X или группы элементов в некотором порядке (в виде убывающей или возрастающей последовательности), т.е. ввести отношение порядка на множестве X.

Различают отношения строгого порядка, для которых применяют символы " > ", " \subset ", " \Rightarrow ", и отношения нестрогого порядка, где используют символы " \le ", " \subseteq  ".

Эти отношения характеризуются следующими свойствами:

Для отношения строгого порядка:

  • x < x - ложно (антирефлексивность);
  • x < y и y < x - взаимоисключаются (несимметричность);
  • x < y и y < z  \Rightarrow   x < z - истина (транзитивность).

Для отношения нестрогого порядка:

  • x \le  x - истинно (рефлексивность);
  • x \le  y и y \le  x  \Rightarrow   x = y - антисимметричность;
  • x \le  y и y \le  z  \Rightarrow   x \le  z - транзитивность.

Множество X называют упорядоченным, если любые два элемента x и y этого множества сравнимы, т.е. для них выполняется одно из условий:

x < y,  x = y,  y < x.

Упорядоченное множество называют кортежем. В общем случае, кортеж - это последовательность элементов, т.е. совокупность элементов, в которой каждый элемент занимает вполне определённое место. Элементы упорядоченного множества называются компонентами кортежа.

Примерами кортежа может служить упорядоченная последовательность чисел арифметической или геометрической прогрессий, последовательность технологических операций при изготовлении какого-либо радиоэлектронного изделия, упорядоченная последовательность установочных позиций печатной платы для закрепления конструктивных элементов.

Во всех этих множествах место каждого элемента вполне определено и не может произвольно изменяться.

При обработке конструкторской информации на ВТ часто применяют отношения доминирования. Говорят, что x \in  X доминирует над y \in  X, т.е. x \gg y, если элемент x в чём-либо превосходит (имеет приоритет) элемент y того же множества.

Например, под x можно понимать один из списков данных, который должен поступить на обработку первым. При анализе нескольких конструкций РЭС какой-либо из них должен быть отдан приоритет, так как эта конструкция обладает, например, лучшими свойствами, чем другие, т.е. конструкция x доминирует над конструкцией y.

Свойство транзитивности при этом не имеет места. Если, например, конструкцию x по каким-либо одним параметрам предпочли конструкции y, а конструкцию y по каким-либо другим параметрам предпочли конструкции z, то отсюда ещё не следует, что конструкции x должно быть отдано предпочтение по сравнению с конструкцией z.

< Лекция 15 || Лекция 16: 1234 || Лекция 17 >