Опубликован: 19.01.2010 | Доступ: свободный | Студентов: 3189 / 438 | Оценка: 4.28 / 4.00 | Длительность: 26:16:00
ISBN: 978-5-9963-0242-0
Специальности: Математик
Лекция 12:

Простые числа

Теорема Эйлера

Теорему Эйлера можно представить как обобщения малой теоремы Ферма. Модуль в теореме Ферма — простое число, модуль в теореме Эйлера — целое число. Мы вводим две версии этой теоремы.

Первая версия

Первая версия теоремы Эйлера подобна первой версии малой теоремы Ферма. Если a и n – взаимно простые, то {a^{\varphi (n)}} \equiv 1{\text{ }}\bmod n.

Вторая версия

Вторая версия теоремы Эйлера подобна второй версии малой теоремы Ферма; она устраняет условие, что n должно быть взаимно простым с a. Если n = p \times q,a < n, а k — целое число, то {a^{k \times \phi (n) + 1}} \equiv a\bmod n.

Приведем нестрогое доказательство второй версии, основанной на первой версии. Поскольку a < n, то возможны три случая:

1. Если a не кратно ни числу p, ни числу q, то a и n – взаимно простые.

\tt\parindent0pt

a^{k\times \varphi (n)+1} \mod\ n=(a^{\varphi (n)})^{k} \times  a \mod\ n=(1)^{k} \times  a \mod\ n = \times a \mod\ n

2. Если a — кратное число p, a = (i \times p), но не кратно числу q.

\tt\parindent0pt

$a^{\varphi (n)} \mod\ q = (a^{\varphi (q)} \mod\ q)^{\varphi (p)} \mod\ q = 1 \to  a^{\varphi (n)} \mod\ q = 1$

$a^{k\times \varphi (n)} \mod\ q = (a^{\varphi (n)} \mod\ q)^{k} \mod\ q = 1 \to  a^{k\times \varphi (n)} \mod\ q = 1$

$a^{k\times \varphi (n)} \mod\ q = 1 \to  a^{k\times \varphi (n)} = 1+j \times  q$ (интерпретация сравнения)

$a^{k\times \varphi (n)+1} = a \times  (1+j \times  q) = a+j\times q\times a=a+(i\times j)\times q\times p = a+(i\times j)\times n$

$a^{k\times \varphi (n)+1} = a+(i\times j)\times n \to  a^{k\times \varphi (n)+1} = a \mod\ n$ (отношение конгруэнтности)$

3. Если a кратно q (a = i \times q), но не кратно p, доказательство второго случая то же самое, но p и q меняются местами.

Вторая версия теоремы Эйлера используется в криптографической системе RSА (лекция 10).
Приложения

Хотя мы рассмотрим некоторые приложения теоремы Эйлера позже в этой лекции, теорема очень полезна для того, чтобы решать некоторые задачи.

Возведение в степень. Теорема Эйлера иногда полезна, чтобы быстро найти решение некоторых задач с возведением в степень. Следующие примеры показывают идею этого процесса.

Пример 12.15

Найдите результат 624 mod 35.

Решение

Мы имеем {6^{24}}\bmod {\text{ }}35 = {6^{\varphi (35)}}\bmod 35 = 1

Пример 12.16

Найдите результат 2062 mod 77.

Решение

Если введем k = 1 согласно второй версии, мы имеем:

2062 mod 77 = (20 mod 77) mod 77 = (20)(20) mod 77 = 15

Мультипликативные инверсии. Теорема Эйлера может использоваться, чтобы найти мультипликативную инверсию по простому модулю. Теорема Эйлера может применяться, чтобы найти мультипликативные инверсии по составному модулю. Если n и a – взаимно простые, то {a^{ - 1}}\bmod n = {a^{\varphi (n) - 1}}\bmod n. Это может быть легко доказано умножением обеих сторон равенства на a.


a^{-1} \mod\ n = a \times  a^{\varphi (n)-1} \mod\ n = a^{\varphi (n)} \mod\ n = 1 \mod\ n

Пример 12.17

Мультипликативная инверсия по составному модулю может быть найдена без использования расширенного евклидова алгоритма, если мы знаем разложение на множители составного объекта:

a. {8^{ - 1}}\bmod 77 = {8^{\varphi (77) - 1}}\bmod 77 = {8^{59}}\bmod 77 = 29\bmod 77

b. {7^{ - 1}}\bmod 15 = {7^{\varphi (15) - 1}}\bmod 15 = {7^{7}}\bmod 15 = 13\bmod 15

c. {6^{ - 1}}\bmod 187 = {7^{\varphi (187) - 1}}\bmod 187 = {60^{159}}\bmod 187 = 53\bmod 187

d. {71^{ - 1}}\bmod 100 = {71^{\varphi (100) - 1}}\bmod 100 = {71^{39}}\bmod 100 = 31\bmod 100

Генерация простых чисел

Два математика, Мерсенна и Ферма, попытались получить формулу, которая могла бы генерировать простые числа.

Простые числа Мерсенны

Мерсенна предложил следующую формулу, которую называют номера Мерсенны. Он предполагал, что формула перечисляет все простые числа.

Mp = 2p–1

Если p в приведенной выше формуле — простое число, то, как предполагали, Mp должно быть простым числом. Годы спустя было доказано, что не все числа, полученные по формуле Мерсенны, — простые числа. Ниже приведен список некоторых номеров Мерсенны.

\tt\parindent0pt

$M_{2} = 2^{2} – 1 = 3$

$M_{3} = 2^{3} – 1 = 7$

$M_{5} = 2^{5} – 1 = 31$

$M_{7} = 2^{7} – 1 = 127$

$M_{11} = 2^{11} – 1 = 2047$     Непростое число ($2047 = 23 \times  89$)

$M_{13} = 2^{13} – 1 = 8191$

$M_{17} = 2^{17} – 1 = 131071$

Оказалось, что M11 — не простое число. Однако было найдено, что 41 число по формуле Мерсенны — простые; одно из последних найденных чисел Мерсенны — М124036583, наибольшее число содержит 7 253 733 цифр. Поиск продолжается.

Ферма пробовал найти формулу, которая генерирует простые числа. Следующая формула — для чисел Ферма:

Число в формуле Mp = 2p–1, называемое числом Мерсенны, может быть или не быть простым числом.
Простые числа Ферма

Ферма попытался найти формулу для генерации простых чисел. Он предложил следующую формулу, которая теперь называется формулой Ферма, и проверил номера от F0 (n=0,1,…) до F4, но оказалось, что уже F4 — не простое число.

{F_n} = {2^{{2^n}}} + 1

F0 = 3

F1 = 17

F2 = 257

F3 = 65537

F_{4} = 4294967297 =  641 \times  6700417. Не простое число

Фактически было доказано, что многие номера до F24 — составные числа.

Наталья Шульга
Наталья Шульга

Курс "информационная безопасность" .

Можно ли на него записаться на ПЕРЕПОДГОТОВКУ по данному курсу? Выдается ли диплом в бумажном варианте и высылается ли он по почте?

Дмитрий Плешаков
Дмитрий Плешаков

Здравствуйте. На данныйц момент я изучаю курс Математика криптографии и теория шифрования. Стоимость обучения на данном курсе указана 1 руб., но, при этом доступ к лекциям указан платный. Не могли бы Вы прояснить данный момент, и, если доступ платный, какова стоимость лекций и общая стоимость курса.

Заранее благодарен.