Опубликован: 19.01.2010 | Доступ: свободный | Студентов: 3186 / 438 | Оценка: 4.28 / 4.00 | Длительность: 26:16:00
ISBN: 978-5-9963-0242-0
Специальности: Математик
Лекция 12:

Простые числа

Phi-функция Эйлера

Phi-функция Эйлера, \varphi (n), которую иногда называют тотиентой Эйлера, играет очень важную роль в криптографии. Функция \varphi (n) находит из ряда чисел 0,1…., n–1 числа, взаимно простые с n. Можно вспомнить из "Модульная арифметика" , что множество Zn* — числа, которые не больше чем n и взаимно простые с n. Функция \varphi (n) вычисляет число элементов этого множества. Ниже показано, как найти это значение:

  1. \varphi (1)=0.
  2. \varphi (p)=p-1, если p — простое число.
  3. \varphi (m \times n) = \varphi (m) \times \varphi (n)
, если m и n — взаимно простые.
  4. \varphi ({p^e}) = {p^e} - {p^{e - 1}}, если p — простое.

Мы можем объединить эти четыре правила, предназначенные для нахождения \varphi (n).

\varphi (n) = ({p_1}^{{e_1}} - {p_1}^{{e_1} - 1}) \times ({p_2}^{{e_2}} - {p_2}^{{e_2} - 1}) \times  \cdot  \cdot  \cdot  \times ({p^{{e_k}}} - {p^{{e_k} - 1}})

Очень важно заметить, что значение \varphi (n) для больших чисел может быть найдено, если может быть найдено число n и если n может быть представлено в виде разложения простых чисел. Другими словами, трудность нахождения \varphi (n) зависит от трудности нахождения разложения n. Это рассматривается в следующем разделе.

Трудность нахождения \phi(n) зависит от трудности нахождения разложения n.

Пример 12.7

Какое значение имеет \varphi (13)?

Решение

Поскольку 13 — простое число, \varphi (13)=(13-1)=12.

Пример 12.8

Какое значение имеет \varphi (10)?

Решение

Мы можем использовать третье правило: \varphi (10) = \varphi (2) \times \varphi (5) = 1 \times 4 = 4, поскольку 2 и 5 — простые числа.

Пример 12.9

Какое значение имеет \varphi (240)?

Решение

Мы можем записать 240 = {2^4} \times {3^1} \times {5^1}.

Тогда

\varphi (240) = ({2^4} - {2^3}) \times ({3^1} - {3^0}) \times ({5^1} - {5^0}) = 64

Пример 12.10

Можно ли утверждать, что \varphi (49) = \varphi (7) \times \varphi (7) = 6 \times 6 = 36 ?

Решение

Нет.

\varphi (49) = {7^2} - {7^1} = 42

Пример 12.11

Какие числа являются элементами в Z14*?

Решение

\varphi (14) = \varphi (7) \times \varphi (2) = 6 \times 1 = 6. Элементы – это 1, 3, 5, 9, 11 и 13.

Интересный факт: если n > 2, значение \phi(n) — четное.

Малая теорема Ферма

Малая теорема Ферма играет очень важную роль в теории чисел и криптографии. Ниже мы приводим две версии теоремы.

Первая версия

Первая версия говорит, что если p — простое число и a — целое число, такое, что p не является делителем a, тогда {a^{p - 1}} \equiv 1{\text{ }}\bmod {\text{ }}p.

Вторая версия

Вторая версия вводит ограничивающие условие на a. Она утверждает, что если p — простое число и a — целое число, то {a^p} \equiv a{\text{ }}\bmod {\text{ }}p.

Приложения

Хотя мы будем рассматривать приложения этой теоремы позже в этой лекции, теорема очень полезна для того, чтобы решить некоторые проблемы.

Возведение в степень. Малая теорема Ферма иногда полезна для того, чтобы быстро найти решение при возведении в степень. Следующие примеры показывают это.

Пример 12.12

Найдите результат 610 mod 11.

Решение

Мы имеем {6^{10}}{\text{ }}\bmod {\text{ }}11 \equiv 1. Это первая версия малой теоремы Ферма, где p = 11.

Пример 12.13

Найдите результат 312 mod 11.

Решение

Здесь степень (12) и модуль (11) не соответствуют условиям теоремы Ферма. Но, применяя преобразования, мы можем привести решение к использованию малой теоремы Ферма.

{3^{12}}\bmod {\text{ }}11 \equiv ({3^{11}} \times 3)\bmod {\text{ }}11 \equiv ({3^{11}}\bmod {\text{ }}11)(3{\text{ }}\bmod {\text{ }}11) \equiv (3 \times 3)\bmod {\text{ }}11 = 9

Мультипликативные инверсии. Очень интересное приложение теорема Ферма находит для некоторых мультипликативных инверсий, если модуль — простое число. Если p — простое число и a — целое число, такое, что p не является его делителем, тогда a-1mod p = ap-2 mod p. Это может быть легко доказано, если мы умножим обе стороны равенства на a и используем первую версию малой теоремы Ферма:


a \times  a^{-1} \mod\ p \equiv  a \times  a^{p-2} \mod\ p \equiv  a^{p-1} \mod\ p \equiv  1 \mod\ p

Это приложение позволяет не использовать расширенный алгоритм Евклида для нахождения мультипликативных инверсий.

Пример 12.14

Инверсии по модулю простого числа могут быть найдены без использования расширенного Евклидова алгоритма:

a. 8-1 mod 17 = 817-2 mod 17 = 815 mod 17 = 15 mod 17

b. 5 –1 mod 23 = 523-2 mod 23 = 521 mod 23 = 14 mod 23

c. 60101 mod 101 = 60101-2 mod 101 = 6099 mod 101 = 32 mod 101

d. 22 -1 mod 211 = 22 211-2 modа 211 = 22209 mod 211 = 48 mod 211

Наталья Шульга
Наталья Шульга

Курс "информационная безопасность" .

Можно ли на него записаться на ПЕРЕПОДГОТОВКУ по данному курсу? Выдается ли диплом в бумажном варианте и высылается ли он по почте?

Дмитрий Плешаков
Дмитрий Плешаков

Здравствуйте. На данныйц момент я изучаю курс Математика криптографии и теория шифрования. Стоимость обучения на данном курсе указана 1 руб., но, при этом доступ к лекциям указан платный. Не могли бы Вы прояснить данный момент, и, если доступ платный, какова стоимость лекций и общая стоимость курса.

Заранее благодарен.