Опубликован: 19.01.2010 | Доступ: свободный | Студентов: 3183 / 432 | Оценка: 4.28 / 4.00 | Длительность: 26:16:00
ISBN: 978-5-9963-0242-0
Специальности: Математик
Лекция 3:

Сравнения и матрицы

< Лекция 2 || Лекция 3: 1234 || Лекция 4 >
Аннотация: В данной лекции рассматриваются матрицы и операции с матрицами вычетов, которые широко используются в криптографии. Используя матрицы вычетов решается набор уравнений сравнения.

3.1. Матрицы

В криптографии мы должны обрабатывать матрицы. Хотя эта тема принадлежит специальному разделу алгебры, который называется линейной алгеброй, необходим краткий обзор матриц для подготовки к изучению криптографии. Читатели, знакомые с этими вопросами, могут пропустить часть или весь этот раздел. Раздел начинается с некоторых определений и примеров использования матрицы в модульной арифметике.

Определения

Матрицапрямоугольный массив, содержащий l x m элементов, в которых l — число строк, m — число столбцов. Матрица обычно обозначается заглавной буквой, такой, как A. Элемент aij расположен в i -той строке и j -том столбце. Хотя элементы матрицы могут быть любым множеством чисел, мы обсуждаем только матрицы с элементами в Z. Пример матрицы с m столбцами и l строками

\begin{pmatrix}
a_{11}& a_{12}& ... &a_{1m}&\\
a_{21}& a_{22}& ... &a_{2m}&\\
 ... \\
a_{l1}& a_{l2}& ... &a_{lm}&\\
\end{pmatrix}

Если матрица имеет только одну строку ( l = 1 ), она называется матрицей-строкой ; если она имеет только один столбец ( m = 1 ), то называется матрицей-столбцом. Матрица называется квадратной, если число строк равно числу столбцов ( l = m ) и содержит элементы a11, a22, ……, amm. Матрица обозначается 0, если все строки и все столбцы содержат нули. Единичная матрица обозначается I, если она квадратная и содержит все единицы на главной диагонали и все нули на других местах. Рисунок 3.2 показывает некоторые примеры матриц с элементами из Z.

 Примеры матриц

Рис. 3.2. Примеры матриц

Операции и уравнения

В линейной алгебре для матриц определены одно уравнение (равенство) и четыре операции (сложение, вычитание, умножение и скалярное умножение).

Равенство

Две матрицы равны, если они имеют одинаковое число строк и столбцов и соответствующие элементы равны. Другими словами, A = B, если мы имеем aij = bij для всех i и j.

Сложение и вычитание

Операция сложения двух матриц может применяться, если матрицы имеют одинаковое число столбцов и строк. Сложение записывают как C =A + B. В этом случае полученная в результате матрица C имеет тот же самый номер строк и столбцов, как A или B. Каждый элемент C — сумма двух соответствующих элементов A и B: aij + bij.

Операция вычитания производится аналогично сложению, за исключением того, что каждый элемент B вычитается из соответствующего элемента A: dij= aij – bij.

Пример 3.1

Ниже показан пример сложения и вычитания.

\begin{pmatrix}
12& 4& 4&\\
11& 12& 30&\\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
5& 2& 1&\\
3& 2& 10&\\
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
7& 2& 3&\\
8& 10& 20&\\
\end{pmatrix}\\
 C=A+B\\
\begin{pmatrix}
-2& 0& -2&\\
-5& -8& -10&\\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
5& 2& 1&\\
3& 2& 10&\\
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
7& 2& 3&\\
8& 10& 20&\\
\end{pmatrix}\\
C=A-B
Умножение

Две матрицы различного размера могут быть перемножены, если число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы. Если A — матрица размера l x m, а матрица B размера m x p, то произведением будет матрица C размером l x p. Если элемент матрицы A обозначить aij, а каждый элемент матрицы B обозначить bjk, то элемент матрицы Ccik — вычисляется следующим образом:

c_{ik} =  \Sigma  a_{ij} x b_{jk} = a_{i1} \multiply b_{1j} + a_{i2} x b_{2j}  + … + a_{im} x b_{mj}

Пример 3.2

Рисунок 3.3 показывает произведение матрицы-строки ( 1 \times 3 ) на матрицу-столбец ( 3 \times 1 ). В результате получаем матрицу размером 1 \times 1.

 Умножение матрицы-строки на матрицу-столбец

Рис. 3.3. Умножение матрицы-строки на матрицу-столбец

Пример 3.3

Рисунок 3.4 показывает произведение матрицы 2 \times 3 на матрицу 3 \times 4. В результате получаем матрицу 2 \times 4

 Умножение матрицы 2 x 3 на матрицу 3 x 4.

Рис. 3.4. Умножение матрицы 2 x 3 на матрицу 3 x 4.
Скалярное умножение

Мы можем также умножить матрицу на число (называемое скаляр ). Если A — матрица l \times m и x — скаляр, то C = xA — матрица l \times m, в которой {c_{ij}} = x \times {a_{ij}}.

 Скалярное умножение

Рис. 3.5. Скалярное умножение

Пример 3.4

Рисунок 3.5 показывает пример скалярного умножения.

< Лекция 2 || Лекция 3: 1234 || Лекция 4 >
Наталья Шульга
Наталья Шульга

Курс "информационная безопасность" .

Можно ли на него записаться на ПЕРЕПОДГОТОВКУ по данному курсу? Выдается ли диплом в бумажном варианте и высылается ли он по почте?

Дмитрий Плешаков
Дмитрий Плешаков

Здравствуйте. На данныйц момент я изучаю курс Математика криптографии и теория шифрования. Стоимость обучения на данном курсе указана 1 руб., но, при этом доступ к лекциям указан платный. Не могли бы Вы прояснить данный момент, и, если доступ платный, какова стоимость лекций и общая стоимость курса.

Заранее благодарен.

Ivan Iakimov
Ivan Iakimov
Израиль
Вадим Лелес
Вадим Лелес
Россия