Опубликован: 19.01.2010 | Доступ: свободный | Студентов: 3229 / 453 | Оценка: 4.28 / 4.00 | Длительность: 26:16:00
ISBN: 978-5-9963-0242-0
Специальности: Математик
Лекция 2:

Модульная арифметика

< Лекция 1 || Лекция 2: 12345 || Лекция 3 >

Инверсии

Когда мы работаем в модульной арифметике, нам часто нужно найти операцию, которая позволяет вычислить величину, обратную заданному числу. Мы обычно ищем аддитивную инверсию (оператор, обратный сложению) или мультипликативную инверсию (оператор, обратный умножению).

Аддитивная инверсия

В Zn два числа a и b аддитивно инверсны друг другу, если b = n – a. Например,

a + b \equiv  0(mod \ n)

В Zn аддитивная инверсия числу a может быть вычислена как b = n – a. Например, аддитивная инверсия 4 в Z10 равна 10 – 4 = 6.

В модульной арифметике каждое целое число имеет аддитивную инверсию. Сумма целого числа и его аддитивной инверсии сравнима с 0 по модулю n .

Обратите внимание, что в модульной арифметике каждое число имеет аддитивную инверсию, и эта инверсия уникальна; каждое число имеет одну и только одну аддитивную инверсию. Однако инверсия числа может быть непосредственно тем же самым числом.

Пример 2.21

Найдите все взаимно обратные пары по сложению в Z10.

Решение

Даны шесть пар аддитивных инверсий — (0, 0), (1, 9), (2, 8), (3, 7), (4, 6) и (5, 5). В этом списке 0 — инверсия самому себе; так же и 5. Обратите внимание: аддитивные инверсии обратны друг другу; если 4 — аддитивная инверсия 6, тогда 6 — также аддитивная инверсия числу 4.

Мультипликативная инверсия

В Zn два числа a и b мультипликативно инверсны друг другу, если

a \times b \equiv  1(mod \ n)

Например, если модуль равен 10, то мультипликативная инверсия 3 есть 7. Другими словами, мы имеем (3 \times 7)\bmod 10 \equiv 1.

В модульной арифметике целое число может или не может иметь мультипликативную инверсию. Целое число и его мультипликативная инверсия сравнимы с 1 по модулю n .

Может быть доказано, что a имеет мультипликативную инверсию в Zn, если только НОД(n, a) = 1. В этом случае говорят, что a и n взаимно простые.

Пример 2.22

Найти мультипликативную инверсию 8 в Z10.

Решение

Мультипликативная инверсия не существует, потому что HOD\left( {{\text{1}}0,{\text{8}}} \right) = {\text{2}} \ne {\text{1}}. Другими словами, мы не можем найти число между 0 и 9, такое, что при умножении на 8 результат сравним с 1 по mod 10.

Пример 2.23

Найти все мультипликативные инверсии в Z10.

Решение

Есть только три пары, удовлетворяющие условиям существования мультипликативной инверсии: (1, 1), (3, 7) и (9, 9). Числа 0, 2, 4, 5, 6 и 8 не имеют мультипликативной инверсии.

Мы можем проверить, что

(1 x 1) mod 10 = 1       (3 x 7) mod 10 = 1        (9 x 9) mod 10 = 1

Пример 2.24

Найти все мультипликативные обратные пары в Z11.

Решение

Мы имеем следующие пары: (1, 1), (2, 6), (3, 4), (5, 9), (7, 8) и (10, 10). При переходе от Z10 к Z11 число пар увеличивается. При Z11 НОД (11, a) = 1 (взаимно простые) для всех значений a, кроме 0. Это означает, что все целые числа от 1 до 10 имеют мультипликативные инверсии.

Целое число a в Zn имеет мультипликативную инверсию тогда и только тогда, если НОД (n, a) = 1(mod n)

Расширенный алгоритм Евклида, который мы обсуждали ранее в этой лекции, может найти мультипликативную инверсию b в Zn, когда даны n и b и инверсия существует. Для этого нам надо заменить первое целое число a на n (модуль). Далее мы можем утверждать, что алгоритм может найти s и t, такие, что s \times n + b \times t = HOD\left( {n,b} \right). Однако если мультипликативная инверсия b существует, НОД (n, b) должен быть 1. Так что уравнение будет иметь вид

(s x n) + (b x t) = 1

Теперь мы применяем операции по модулю к обеим сторонам уравнения. Другими словами, мы отображаем каждую сторону к Zn. Тогда мы будем иметь

(s x n + b x t) mod n =1 mod n
[(s x n) mod n] + [(b x t) mod n] = 1 mod n
0 + [(b x t) mod n ] = 1
(b x t) mod n =1  ->  Это означает, что t – это мультипликативная инверсия  b в Zn

Обратите внимание, что [(s \times n)\bmod n] на третьей строке — 0, потому что, если мы делим (s \times n)n, частное — s, а остаток — 0.

Расширенный алгоритм Евклида находит мультипликативные инверсии b в Zn , когда даны n и b и НОД (n, b) = 1 . Мультипликативная инверсия b — это значение t , отображенное в Zn .

Рисунок 2.15 показывает, как мы находим мультипликативную инверсию числа, используя расширенный алгоритм Евклида.

 Применение расширенного алгоритма Евклида для поиска мультипликативной инверсии

Рис. 2.15. Применение расширенного алгоритма Евклида для поиска мультипликативной инверсии

Пример 2.25

Найти мультипликативную инверсию 11 в Z26.

Решение

Мы используем таблицу, аналогичную одной из тех, которые мы уже применяли прежде при данных r1 = 26 и r2 = 11. Нас интересует только значение t.

q r1 r2 r t1 t2 t
2 26 11 4 0 1 -2
2 11 4 3 1 -2 5
1 4 3 1 -2 5 -7
3 3 1 0 5 -7 26
1 0 -7 26

НОД (26, 11) = 1, что означает, что мультипликативная инверсия 11 существует. Расширенный алгоритм Евклида дает t1 = (–7).

Мультипликативная инверсия равна (–7) mod 26 = 19. Другими словами, 11 и 19 — мультипликативная инверсия в Z26. Мы можем видеть, что (11 \times 19)\bmod 26 = 209\bmod 26 = 1.

Пример 2.26

Найти мультипликативную инверсию 23 в Z100.

Решение

Мы используем таблицу, подобную той, которую применяли до этого при r1 = 100 и r2 = 23. Нас интересует только значение t.

q r1 r2 r t1 t2 t
4 100 23 8 0 1 -4
2 23 8 7 1 -4 19
1 8 7 1 -4 9 -13
7 7 1 0 9 -13 100
1 0 -13 100

НОД (100, 23) = 1, что означает, что инверсия 23 существует. Расширенный Евклидов алгоритм дает t1 =-13. Инверсия — (–13) mod 100 = 87. Другими словами, 13 и 87 — мультипликативные инверсии в Z100. Мы можем видеть, что (23 \times 87)\bmod 100 = 2001\bmod 100 = 1.

Пример 2.27

Найти мультипликативную инверсию 12 в Z26.

Решение

Мы используем таблицу, подобную той, которую мы применяли раньше при r1 = 26 и r2 = 12.

q r1 r2 r t1 t2 t
2 26 12 2 0 1
6 12 2 0 1 -2
2 0 -2 13

HOD\left( {{\text{26}},{\text{12}}} \right) = {\text{2}} \ne {\text{1}}, что означает отсутвствие для числа 12 мультипликативной инверсии в Z26

Сложение и умножение таблиц

Рисунок 2.16 показывает две таблицы для сложения и умножения. При сложении таблиц каждое целое число имеет аддитивную инверсию. Обратные пары могут быть найдены, если результат их сложения — ноль. Мы имеем (0, 0), (1, 9), (2, 8), (3, 7), (4, 6) и (5, 5). При умножении таблиц мы получаем только три мультипликативных пары (1, 1), (3, 7) и (9, 9). Пары могут быть найдены, когда результат умножения равен 1. Обе таблицы симметричны по диагонали, от левой вершины к нижней вершине справа. При этом можно обнаружить свойства коммутативности для сложения и умножения ( a+b = b+a и a \times b = b \times a ). Таблица сложения также показывает, что каждый ряд или колонка может поменяться с другим рядом или колонкой. Для таблицы умножения это неверно.

 Таблицы сложения и умножения для Z10

Рис. 2.16. Таблицы сложения и умножения для Z10

Различные множества для сложения и умножения

В криптографии мы часто работаем с инверсиями. Если отправитель посылает целое число (например, ключ для шифрования слова), приемник применяет инверсию этого целого числа (например, ключ декодирования). Если это действие (алгоритм шифрования/декодирования) является сложением, множество Zn может быть использовано как множество возможных ключей, потому что каждое целое число в этом множестве имеет аддитивную инверсию. С другой стороны, если действие (алгоритм шифрования/декодирования) — умножение, Zn не может быть множеством возможных ключей, потому что только некоторые члены этого множества имеют мультипликативную инверсию. Нам нужно другое множество, которое является подмножеством Zn и включает в себя только целые числа, и при этом в Zn они имеют уникальную мультипликативную инверсию. Это множество обозначается Zn*. Рисунок 2.17 показывает некоторые случаи двух множеств. Обратите внимание, что множество Zn* может быть получено из таблицы умножения типа показанной на рис. 2.16.

Каждый член Zn имеет аддитивную инверсию, но только некоторые члены имеют мультипликативную инверсию. Каждый член Zn* имеет мультипликативную инверсию, но только некоторые члены множества имеют аддитивную инверсию.

Мы должны использовать Zn , когда необходимы аддитивные инверсии; мы должны использовать Zn* , когда необходимы мультипликативные инверсии.
 Некоторые множества  Zn и Zn*

Рис. 2.17. Некоторые множества Zn и Zn*

Еще два множества

Криптография часто использует еще два множества: Zp, и Zp*. Модули в этих двух множествах — простые числа. Простые числа будут обсуждаться в следующих лекциях; пока можно сказать, что простое число имеет только два делителя: целое число 1 и само себя.

Множество Zp — то же самое, что и Zn, за исключением того, что nпростое число. Zp содержит все целые числа от 0 до p – 1. Каждый элемент в Zp имеет аддитивную инверсию; каждый элемент кроме 0 имеет мультипликативную инверсию.

Множество Zp* — то же самое, что Zn*, за исключением того, что Zp* содержит все целые числа от 1 до p – 1. Каждый элемент в Zp имеет аддитивную и мультипликативную инверсии. Zp* очень хороший кандидат, когда мы нуждаемся во множестве, которое поддерживает аддитивную и мультипликативную инверсии.

Ниже показаны два множества, когда p = 13.

Z13 = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}, 
Z13* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12},
< Лекция 1 || Лекция 2: 12345 || Лекция 3 >
Наталья Шульга
Наталья Шульга

Курс "информационная безопасность" .

Можно ли на него записаться на ПЕРЕПОДГОТОВКУ по данному курсу? Выдается ли диплом в бумажном варианте и высылается ли он по почте?

Дмитрий Плешаков
Дмитрий Плешаков

Здравствуйте. На данныйц момент я изучаю курс Математика криптографии и теория шифрования. Стоимость обучения на данном курсе указана 1 руб., но, при этом доступ к лекциям указан платный. Не могли бы Вы прояснить данный момент, и, если доступ платный, какова стоимость лекций и общая стоимость курса.

Заранее благодарен.