Опубликован: 11.08.2009 | Доступ: свободный | Студентов: 5418 / 1008 | Оценка: 4.45 / 4.23 | Длительность: 28:40:00
Специальности: Руководитель
Лекция 9:

Описание неопределенностей в теории принятия решений

Теория нечеткости является обобщением интервальной математики. Действительно, функция принадлежности

\mu_B(x)=\begin{cases}
1, x \in [a,b]\\
0, x \notin [a,b]
\end{cases}

задает интервальную неопределенность - про рассматриваемую величину известно лишь, что она лежит в заданном интервале [a,b] . Тем самым описание неопределенностей с помощью нечетких множеств является более общим, чем с помощью интервалов.

Начало современной теории нечеткости положено работой 1965 г. американского ученого азербайджанского происхождения Л.А. Заде. К настоящему времени по этой теории опубликованы тысячи книг и статей, издается несколько международных журналов, выполнено достаточно много как теоретических, так и прикладных работ. Первая книга российского автора по теории нечеткости вышла в 1980 г.

Сам Л.А. Заде рассматривал теорию нечетких множеств как аппарат анализа и моделирования гуманистических систем, т.е. систем, в которых участвует человек. Его подход опирается на предпосылку о том, что элементами мышления человека являются не числа, а элементы некоторых нечетких множеств или классов объектов, для которых переход от "принадлежности" к "непринадлежности" не скачкообразен, а непрерывен. В настоящее время методы теории нечеткости используются почти во всех прикладных областях, в том числе при управлении предприятием, качеством продукции и технологическими процессами.

Л.А. Заде использовал термин "fuzzy set" (нечеткое множество). На русский язык термин "fuzzy" переводили как нечеткий, размытый, расплывчатый, и даже как пушистый и туманный.

Аппарат теории нечеткости громоздок. В качестве примера дадим определения теоретико-множественных операций над нечеткими множествами. Пусть C и D - два нечетких подмножества A с функциями принадлежности \mu_C(x) и \mu_D(x) соответственно. Пересечением C\bigcap D, произведением CD, объединением C\bigcupD, отрицанием \bar C, суммой C+D называются нечеткие подмножества A с функциями принадлежности

\mu_{C\bigcap D}=min(\mu_C(x), \mu_D(x)), \mu_{CD}(x)=\mu_C(x)\mu_D(x), \mu_{\bar C}=1-\mu_C(x),\\
\mu_{C\bigcupD}=max(\mu_C(x), \mu_D(x)), \mu_{C+D}(x)=\mu_C(x)+\mu_D(x)-\mu_C(x)\mu_D(x), x \in A

соответственно.

Как уже отмечалось, теория нечетких множеств в определенном смысле сводится к теории вероятностей, а именно, к теории случайных множеств. Однако при решении прикладных задач вероятностно-статистические методы и методы теории нечеткости обычно рассматриваются как различные.

Для знакомства со спецификой нечетких множеств рассмотрим некоторые их свойства.

В дальнейшем считаем, что все рассматриваемые нечеткие множества являются подмножествами одного и того же множества Y.

Законы де Моргана для нечетких множеств. Как известно, законами де Моргана называются следующие тождества алгебры множеств

\overline {A\bigcap B}= \bar A \bigcup \bar B, \overline {A\bigcup B}= \bar A \bigcap \bar B ( 5)

Теорема 1. Для нечетких множеств справедливы тождества

\overline {A\bigcap B}=\bar A \bigcup \bar B, \overline {A \bigcup B}=\bar A \bigcap \bar B ( 6)
\overline {A+B}=\bar A \bar B, \overline {AB}=\bar A+\bar B ( 7)

Доказательство теоремы 1 состоит в непосредственной проверке справедливости соотношений (6) и (7) путем вычисления значений функций принадлежности участвующих в этих соотношениях нечетких множеств на основе определений, данных выше.

Тождества (6) и (7) назовем законами де Моргана для нечетких множеств. В отличие от классического случая соотношений (5), они состоят из четырех тождеств, одна пара которых относится к операциям объединения и пересечения, а вторая - к операциям произведения и суммы. Как и соотношения (5) в алгебре множеств, законы де Моргана в алгебре нечетких множеств позволяют преобразовывать выражения и формулы, в состав которых входят операции отрицания.

Дистрибутивный закон для нечетких множеств. Некоторые свойства операций над множествами не выполнены для нечетких множеств. Так, A+A \ne A за исключением случая, когда А - "четкое" множество (т.е. функция принадлежности принимает только значения 0 и 1).

Верен ли дистрибутивный закон для нечетких множеств? В литературе иногда расплывчато утверждается, что "не всегда". Внесем полную ясность.

Теорема 2. Для любых нечетких множеств А, В и С

A \bigcap (B\bigcup C)=(A \bigcap B) \bigcup(A \bigcap C) ( 8)

В то же время равенство

A(B+C)=AB+AC ( 9)

справедливо тогда и только тогда, когда при всех y \inY

_\mu_A^2(y)-\mu_A(y))\mu_B(y)\mu_C(y)=0

Доказательство. Фиксируем произвольный элемент y \inY. Для сокращения записи обозначим a=\mu_A(y), b=\mu_B(y), c=\mu_C(y) Для доказательства тождества (8) необходимо показать, что

min(a, max(b,c))=max(min(a,b), min(a,c)) ( 10)

Рассмотрим различные упорядочения трех чисел a, b, c. Пусть сначала a\le b\le c Тогда левая часть соотношения (10) есть min(a,c)=a а правая max(a,a)=a т.е. равенство (10) справедливо.

Пусть b\le a\le c Тогда в соотношении (10) слева стоит min(a,c)=a а справа max(b,a)=a т.е. соотношение (10) опять является равенством.

Если b\le c\le a то в соотношении (10) слева стоит min(a,c)=c а справа max(b,c)=c т.е. обе части снова совпадают.

Три остальные упорядочения чисел a, b, c разбирать нет необходимости, поскольку в соотношение (10) числа b и c входят симметрично. Тождество (8) доказано.

Второе утверждение теоремы 2 вытекает из того, что в соответствии с определениями операций над нечеткими множествами

\mu_{A(B+C)}(y)=a(b+c-bc)=ab+ac-abc

и

\mu_{AB+AC}(y)=ab+ac-(ab)(ac)=ab+ac-a^2bc

Эти два выражения совпадают тогда и только тогда, когда a^2bc=abc что и требовалось доказать.

Определение 1. Носителем нечеткого множества А называется совокупность всех точек y \inY, для которых \mu_A(y)>0

Следствие теоремы 2. Если носители нечетких множеств В и С совпадают с У, то равенство (9) имеет место тогда и только тогда, когда А - "четкое" (т.е. обычное, классическое, не нечеткое) множество.

Доказательство. По условию \mu_B(y)\mu_C(y)\ne0 при всех y \inY. Тогда из теоремы 2 следует, что \mu_A^2(y)-\mu_A(y)=0 т.е. \mu_A(y)=1 или \mu_A(y)=0, что и означает, что А - четкое множество.

Пример описания неопределенности с помощью нечеткого множества. Понятие "богатый" часто используется при обсуждении социально-экономических проблем, в том числе и в связи с подготовкой и принятием решений. Однако очевидно, что разные лица вкладывают в это понятие различное содержание. Сотрудники Института высоких статистических технологий и эконометрики провели в 1996 г. социологическое исследование представления различных слоёв населения о понятии "богатый человек".

Мини-анкета опроса выглядела так:

  1. При каком месячном доходе (в млн. руб. на одного человека) Вы считали бы себя богатым человеком?
  2. Оценив свой сегодняшний доход, к какой из категорий Вы себя относите:
    • богатые;
    • достаток выше среднего;
    • достаток ниже среднего;
    • бедные;
    • за чертой бедности?
    • (В дальнейшем вместо полного наименования категорий будем оперировать буквами, например "в" - категория, "б" - категория и т.д.)
  3. Ваша профессия, специальность.

Всего было опрошено 74 человека, из них 40 - научные работники и преподаватели, 34 человека - не занятых в сфере науки и образования, в том числе 5 рабочих и 5 пенсионеров. Из всех опрошенных только один (!) считает себя богатым. Несколько типичных ответов научных работников и преподавателей приведено в табл. 9.1, а аналогичные сведения для работников коммерческой сферы - в табл.9.2.

Таблица 9.1. Типичные ответы научных работников и преподавателей
Ответы на вопрос 3 Ответы на вопрос 1, млн. руб./чел. Ответы на вопрос 2 Пол
Кандидат наук 1 д ж
Преподаватель 1 в ж
Доцент 1 б ж
Учитель 10 в м
Старший. научный сотрудник 10 д м
Инженер-физик 24 д ж
Программист 25 г м
Научный работник 45 г м
Таблица 9.2. Типичные ответы работников коммерческой сферы
Ответы на вопрос 3 Ответы на вопрос 1 Ответы на вопрос 2 Пол
Вице-президент банка 100 а ж
Зам. директора банка 50 б ж
Начальник. кредитного отдела 50 б м
Начальник отдела ценных бумаг 10 б м
Главный бухгалтер 20 д ж
Бухгалтер 15 в ж
Менеджер банка 11 б м
Начальник отдела проектирования 10 в ж

Разброс ответов на первый вопрос - от 1 до 100 млн. руб. в месяц на человека. Результаты опроса показывают, что критерий богатства у финансовых работников в целом несколько выше, чем у научных (см. гистограммы на. рис 9.1 и рис.9.29.2 ниже).

Опрос показал, что выявить какое-нибудь конкретное значение суммы, которая необходима "для полного счастья", пусть даже с небольшим разбросом, нельзя, что вполне естественно. Как видно из таблиц 9.1 и 9.2, денежный эквивалент богатства колеблется от 1 до 100 миллионов рублей в месяц. Подтвердилось мнение, что работники сферы образования в подавляющем большинстве причисляют свой достаток к категории "в" и ниже (81% опрошенных), в том числе к категории "д" отнесли свой достаток 57%.

Со служащими коммерческих структур и бюджетных организаций иная картина: "г" - категория 1 человек (4%), "д" - категория 4 человека (17%), "б" - категория - 46% и 1 человек "а" - категория.

Пенсионеры, что не вызывает удивления, отнесли свой доход к категории "д" (4 человека), и лишь один человек указал "г" - категорию. Рабочие же ответили так: 4 человека - "в", и один человек - "б".

Для представления общей картины в табл. 9.3 приведены данные об ответах работников других профессий.

Таблица 9.3. Типичные ответы работников различных профессий
Ответы на вопрос 3 Ответы на вопрос 1 Ответы на вопрос 2 Пол
Работник торговли 1 б ж
Дворник 2 в ж
Водитель 10 в м
Военнослужащий 10 в м
Владелец бензоколонки 20 б ж
Пенсионер 6 д ж
Начальник фабрики 20 б м
Хирург 5 в м
Домохозяйка 10 в ж
Слесарь-механик 25 в м
Юрист 10 б м
Оператор ЭВМ 20 д м
Работник собеса 3 д ж
Архитектор 25 б ж
Михаил Агапитов
Михаил Агапитов

Не могу найти  требования по оформлению выпускной контрольной работы по курсу профессиональной переподготовки "Менеджмент предприятия"

Подобед Александр
Подобед Александр

Я нажал кнопку "начать курс" и почти его уже закончил, но для получения диплома на бумаге, нужно его же оплатить? Как оплатить?