Теоремы Эрроу и Гиббарда-Саттертуэйта
Другие доказательства теоремы Эрроу
Доказательство теоремы 6.1 получилось довольно громоздким и техническим. Конечно, на самом деле это идейное доказательство: мы постепенно получали все более и более сильные свойства определяющих наборов, пока не выяснили, что на самом деле среди них есть одноэлементные множества.
Но можно предложить и другие идейные доказательства, например [7]. В этом параграфе, основанном на работе [21], мы рассмотрим три альтернативных (и достаточно коротких) доказательства теоремы Эрроу. Надеемся, их идеи окажутся достаточно различными, чтобы оправдать такой подход. %Рекомендуем читателю по мере разбора этих доказательств по крайней мере отмечать, %где в каждом из них используется, что альтернатив по меньшей мере три.
Первое доказательство теоремы 6.1. Это доказательство тоже будет проведено в несколько шагов, но на этот раз шаги куда быстрее приведут к цели. Правда, по сравнению с исходным доказательством они могут показаться менее очевидными. Основным для доказательства здесь станет доказательство существования ключевого агента (pivotal agent): агента, который может изменением своего решения изменить результат функции социального выбора.
- Если в некотором профиле
некий исход
для каждого агента
находится на самом верху или в самом низу (то есть
или
), то в результате ранжирования функция социального выбора также должна поместить
на одну крайних позиций.
Доказательство очень простое. Предположим, что это не так, то есть
для некоторых
,
. Поскольку
у каждого находится в одной из крайних позиций, мы можем, не нарушая никаких индивидуальных предпочтений, переместить в предпочтениях каждого агента
над
(проверьте, что это возможно!). Тогда по транзитивности
, но единогласное решение агентов гласит, что
. Противоречие.
- Для каждого из исходов
существует такой ключевой агент
, что для некоторого профиля предпочтений, в котором
обладает вышеописанным свойством, он может переместить
снизу вверх в результате функции социального выбора, изменив только свой профиль.
Пусть каждый агент поставит
в самый низ. По анонимности,
должен занимать последнюю позицию. Теперь пусть агенты по одному перемещают
с самого низа на самый верх. Рано или поздно
переместится и, по пункту
,
переместится сразу на самую верхнюю позицию. Вот последний перед этим профиль предпочтений и соответствующего агента мы и выберем.
- Агент
является диктатором для каждой пары исходов
, не включающей в себя
Выберем элемент
— один из этой пары — и рассмотрим профиль из пункта
, для которого агент
может переместить
снизу вверх. Пусть теперь
изменит свой профиль, переместив
на самый верх:
. Рассмотрим всевозможные профили других агентов, в которых
и
меняются местами произвольно, но
остается на своих крайних позициях. По свойству попарной независимости, результат на этих профилях должен быть
, потому что относительные позиции
и
такие же, как в том профиле, когда
у
был в самом низу, и в результате
тоже был в самом низу. Аналогично, в результате должно быть
. Соответственно, по транзитивности должно быть
. Но эта конструкция не зависела от относительного расположения
и
у других агентов! Иными словами,
тогда и только тогда, когда
.
- Агент
является диктатором для любой пары исходов
Рассмотрим третью возможность
, не входящую в эту пару. Для нее должен быть какой-нибудь диктатор
. Он должен быть диктатором для каждой пары, не содержащей
, например для
. Но
может изменить судьбу пары
, потому что он может при определенных обстоятельствах переместить
с самого низа на самый верх. Значит,
и
— одно лицо.
Второе доказательство теоремы 6.1. Второе доказательство (как, собственно, и третье) тоже будет строить агента-диктатора. Но делать это мы будем уже другим способом. Давайте рассмотрим парадокс Кондорсе и впишем его в профили агентов. Обозначим возможные исходы в алфавитном порядке через . Все агенты в так называемых профилях Кондорсе будут иметь профили одного из
типов:
. Предпочтения этих типов будут выглядеть так:
![\begin{array}{rcccccccc} \theta_x: & x & \succ & y & \succ & \ldots & \ldots & \succ & z,\\ \theta_y: & y & \succ & z & \succ & \ldots & \ldots & \succ & x,\\ \vdots & \vdots & & \vdots & & & & & \vdots \\ \theta_z: & z & \succ & x & \succ & y & \succ & \ldots & \ldots.\\ \end{array}](/sites/default/files/tex_cache/df4c15c5a4f95d8749123db0d307c57b.png)
То есть это просто упорядоченная в алфавитном порядке последовательность исходов, сдвинутая циклически так, чтобы в профиле типа исход
оказался бы на первом месте.
Если все агенты имеют тип , то, по принципу единогласия,
. Рассмотрим все возможные векторы профилей агентов и выберем из них тот, где число агентов типа
минимально, но результат все равно имеет тип
. Обозначим этот профиль через
. Хотя бы один агент
, имеющий тип
, должен существовать в
, т. к. если никто из агентов не этого типа, то по принципу единогласия
.
Теперь докажем, что может в профиле
творить вообще все что хочет. Предположим, что исход
следует по алфавиту сразу за исходом
, и в профиле
агент
меняет свой тип на
, и в результате получается профиль Кондорсе
. По свойству попарной независимости, все равно в новом профиле
и
. Значит, чтобы порядок изменился (а он должен измениться, ведь мы взяли минимальное возможное число агентов типа
), нужно, чтобы в результате было верно
(а если
, то по транзитивности должно быть
).
Пусть изменит свой профиль на
, то есть на профиль вида
![z\succ \ldots \succ y \succ x.](/sites/default/files/tex_cache/a4649e81930a509c9305924bc026431a.png)
Получится уже не профиль Кондорсе . Рассмотрим любые два исхода
, идущие друг за другом по алфавиту. Тогда
и
совпадают на паре
(в обоих
) и на паре
(в обоих
). Значит, по независимости, на профиле
, потому что так было в профиле
. Но поскольку
и
произвольные, то, значит, в профиле
![z\succeq_f\ldots\succeq_f x.](/sites/default/files/tex_cache/115f00bdfe7ad849c35c7622fa697a6a.png)
Более того, если бы было верно, что в профиле
, то они были бы равны и в профиле
, и, значит, было бы верно, что
в профиле
, а значит, и в профиле
, что приводит к противоречию. Значит, все неравенства строгие:
![z\succ_f y\succ_f\ldots\succ_f x.](/sites/default/files/tex_cache/5c6cf3ed058f5ab8ef294ae675203409.png)
Теперь покажем, что — диктатор в каждом профиле, не только в
. Предположим, что в некотором профиле
агент
является диктатором, то есть при условии, что предпочтения остальных соответствуют профилю
, агент
может добиться любого желаемого решения. Мы это про агента
уже доказали для профиля
. Изменим тогда
на
, позволив ровно одному агенту
поднять ровно одну альтернативу на полшага выше: либо разрешить ничью между
и
, либо ее создать, но не то и другое вместе, и других альтернатив менять тоже не позволим. Предположим, что для
в профиле
. Тогда, значит, и в результате профиля
(ведь
там диктатор). Следовательно, и в
и
, а это значит, что по транзитивности
.
А по принципу единогласия это значит, что те полшага, которые сделал агент в профиле
, ничего для
изменить не смогли: в
агент
является таким же диктатором, каким был и в профиле
. Но это значит, что
— диктатор везде, ведь из любого профиля в любой другой можно придти последовательностью таких шажков (проверьте!).
Итак, второе доказательство использовало специальный вид профилей предпочтений агентов — обобщение парадокса Кондорсе. Третье, самое короткое, будет весьма интересным — мы докажем лемму о том, как должны соотноситься между собой разные предпочтения.
Лемма 6.1. (о строгой нейтральности) Рассмотрим две пары альтернатив и
. Предположим, что предпочтения каждого агента на этих парах совпадают, и все такие предпочтения являются строгими. Тогда предпочтения на выходе функции социального выбора на этих парах тоже будут совпадать и тоже будут строгими. Это выполняется для каждой функции социального выбора.
Доказательство. Если пары и
идентичны, то утверждение очевидно. Рассмотрим случай, когда они не совпадают. Предположим без потери общности, что
. Переместим
(если оно не равно
) в позицию непосредственно сверху
для каждого агента, а
— в позицию непосредственно снизу
для каждого агента (если, конечно,
). Поскольку все предпочтения строгие, это можно сделать, не нарушив относительного расположения пар
и
:
![\begin{array}{cc} \alpha & y\\ x & \beta \\ y & \alpha \\ \beta & x\\ \end{array}](/sites/default/files/tex_cache/e8015ad826dba3299ef6263af668d1c9.png)
Тогда, по принципу единогласия, и
, если они не равны. По транзитивности,
. Теперь мы можем поменять
и
местами и в итоге получить, по свойству попарной независимости, что
в исходном профиле. Вот и все, лемма доказана.
Третье доказательство теоремы 6.1. Третье доказательство, опирающееся на лемму 6.1, будет совсем коротким. Рассмотрим два исхода и начнем с
для всех
.i Пусть теперь, начиная с
, каждый агент по очереди перемещает
наверх
. По единогласию и лемме 6.1, будет существовать агент
, при изменении предпочтения которого
перемещается наверх относительно
и после применения функции социального выбора. Докажем, что
— диктатор. Рассмотрим произвольную пару исходов
, для которой
. Пусть ранжирование этой пары у других агентов будет совершенно произвольным.
Рассмотрим теперь третий исход и переместим
выше всех остальных исходов для агентов от
до
, ниже всех остальных для агентов от
до
, а для самого
поместим
между
и
:
. Тогда, по попарной независимости и лемме 6.1, в предпочтениях социальной функции
и
, а это значит, по транзитивности, что
. Следовательно,
оказался диктатором.