Уральский государственный экономический университет
Опубликован: 27.05.2014 | Доступ: свободный | Студентов: 463 / 48 | Длительность: 11:44:00
Лекция 6:

Нечеткие множества

< Лекция 5 || Лекция 6: 123456789

6.9 Сравнение метода нечетких множеств с методом Монте-Карло

Существует множество задач, в которых параметры, описывающие выбранную модель, не могут быть точно определены. Для работы с неопределенностями, в том числе и субъективной природы, разработаны различные методы. В "Имитационное моделирование" рассмотрен метод имитационного моделирования с использованием стохастических переменных. Продемонстрирован метод Монте-Карло, в котором реализуется построение вероятностных распределений возможных значений показателя, который точно не определен. Имеющаяся информация используется при выборе законов распределения исследуемых переменных. Недостаток информации о данных восполняется построением искусственных случайных последовательностей. Используются методы теории вероятности. Для анализа используются законы статистики. Метод нечетких множеств предполагает введение нечетких переменных, которые отражают неопределенность. Пределы нечеткости определяет эксперт, используя также имеющиеся знания о системе. Нечеткие числа, получаемые в результате "не вполне точных измерений", во многом аналогичны распределениям теории вероятностей, но свободны от таких недостатков, как малое количество пригодных к анализу функций распределения, необходимость их принудительной нормализации, трудность обоснования адекватности математической модели для описания поведения фактических величин.

Проведем сравнительный анализ методов Монте-Карло и нечетких множеств.

Рассмотрим задачу, решенную в "Имитационное моделирование" методом Монте-Карло. Решим ее методом нечетких множеств, используя методику решения Задачи 6.2.

Задача.6.3

Фирма предполагает инвестировать сумму 2 млн. руб., используя денежные средства от рекламной деятельности. Предоставляются рекламные услуги по заказам клиентов. Количество и стоимость заказов - величины постоянно меняющиеся. Затраты составляют в среднем 20% от стоимости заказов. Необходимо оценить, какую прибыль может получить фирма за год в таких условиях, насколько она отличается от 2 млн. руб.

Постановка задачи

Цель задачи – оценить прибыль за год для меняющихся показателей: количество заказов Q и стоимость заказов P. Проведен анализ по оценке деятельности фирмы за прошедший год, и на его основе сделаны предположения о численных значениях параметров (таблица 6.4). По оценкам стоимость заказа будет меняться в пределах от 1000 до 2000 руб, с вероятным значением 1800 руб. Количество заказов будет определяться как сумма количества заказов Q в предшествующем месяце и его изменения dQ, которое меняется между 5% уменьшения и 8% увеличения. Для расчета принимается среднее количество заказов в месяц за пошедший год Q_0=120.

Таблица 6.4. Показатели для оценки прибыли рекламной фирмы
Показатели (значения в месяц) Вероятное значение Пределы изменения
Нечеткие Количество заказов Q 120
Ежемесячный процент изменения числа заказов dQ От -5% до 8%
Стоимость заказа P(руб.) 1800 От 1400 до 2000
Постоянные. Процент затрат F\% от стоимости заказа 20%

Введем показатели dQ, Q, P как нечеткие переменные. Зададим для них функции принадлежности. Создадим множества \alpha–уровня. Выберем 10 уровней \alpha на отрезке [0,1]. Построим приближенное разложение нечетких множеств Q и, P. Используя операции над \alpha–уровнями, найдем прибыль G(Q, P) в виде приближенного разложения нечеткого множества G по тем же уровням \alpha.

Модель задачи

Введем обозначения:

Входные данные:

  • dQ - процент изменения количества заказов.
  • Q_i,\; i=\overline{1,12} - количество заказов в месяц,
  • P_i,\; i=\overline{1,12} - стоимость заказа,
  • F - процент затрат от стоимости заказа.

Выходные показатели.

Выходной исследуемый показатель – прибыль фирмы GS за год. - сумма месячных прибылей с учетом процента затрат.

G_i=Q_i\cdot P_i,\; i=\overline{1,12} - прибыль фирмы в месяц.

Количество заказов в месяц будет будет определяться как сумма количества заказов Q в предшествующем месяце и его изменения которое флуктуирует между 5% уменьшения и 8% увеличения.

Q_i=Q_{i-1}\cdot(1+dQ_i),\; i=\overline{1,12}

Будем рассматривать

GS=\sum_{}^{}G_i \cot (1-F) Решение задачи

Зададим функции принадлежности для нечетких переменных dQ, Q, P.

Изменение количества заказов в месяц dQ меняется между 5% уменьшения и 8% увеличения (Рис.622а). Задаем множество в виде трапециевидной функции, заданной 4 значений (-0,06, -0,04, 0,07, 0,09)

Функция принадлежности изменение количества заказов в месяц dQ (трапецевидная функция)

a:=-0.05 \; b:=-0.01 \; c:=0.02 \; d:=0.08

F1Q(x):=1-\frac{(b-x)}{b-a}

F2Q(x):=1-\frac{(x-c)}{d-c}

dQ(x)=\begin{array}{|lc} 
F1Q(x)\; if \; a < x \le b \\
1 \; if \; b < x \le c \\
F2Q(x) \; if \; c<x\le d \; dQ(0)=1 \\
0\; otherwise
\end{array}

 Функция принадлежности прибыли  изменения количества заказов  dQ

Рис. 6.21. Функция принадлежности прибыли изменения количества заказов dQ

Стоимость заказа P в месяц меняется от 1400 до 2000 руб, с вероятным значением 1800 руб. Задаем множество в виде треугольной функции, заданной тройкой (1400, 1800,2000).

Функция принадлежности стоимости заказа

a1:=1400  \; b1:=1800 \; c1:=2000

F1P(x):=1-\frac{(b1-x)}{b1-a1}

F2P(x):=1-\frac{(x-b1)}{c1-b1}

P(x)=\begin{array}{|lc} 
F1P(x)\; if \; a1 \le x \le b1 \\
F2P(x) \; if \; b1 \le x \le (c1) \\
0\; otherwise
\end{array}

 Функция принадлежности прибыли  тоимости заказа P

Рис. 6.22. Функция принадлежности прибыли тоимости заказа P

Разложение по уровням

ORIGIN:=1

i:=1..11 \; j:=1..2

h:=0.1 \; \alpha_i:=0+(i-1)\cdot h

dQ\alpha_{i,1}:=F1Q(x)=\alpha_i solve\to 0.04 \cdot
\begin{pmatrix} 0 \\ 0.1 \\ 0.2 \\ 0.3 \\ 0.4 \\ 0.5 \\ 0.6 \\ 0.7 \\ 0.8\\ 0.9 \\ 1.0 \end{pmatrix}_i-0.05

dQ\alpha_{i,2}:=F2Q(x)=\alpha_i solve\to 0.079999999999999999996-0.059999999999999999999 \cdot
\begin{pmatrix} 0 \\ 0.1 \\ 0.2 \\ 0.3 \\ 0.4 \\ 0.5 \\ 0.6 \\ 0.7 \\ 0.8\\ 0.9 \\ 1.0 \end{pmatrix}_i

< Лекция 5 || Лекция 6: 123456789