Уральский государственный экономический университет
Опубликован: 27.05.2014 | Доступ: свободный | Студентов: 463 / 48 | Длительность: 11:44:00
Лекция 6:

Нечеткие множества

< Лекция 5 || Лекция 6: 123456789

6.5 Операции над нечеткими множествами

Рассмотрим операции над нечеткими множествами.

Дополнение. Пересечение. Объединение.

Пусть дано множество A=\{a_1,a_2,K,a_k\} и два его нечетких подмножества: X=\{x,\mu_1(x)\}, \; Y=\{y,\mu_2(y)\},\; x,y \in A

Дополнением нечеткого множества A=\sum_{U}^{}\mu_A(u_i)/u_i называют множество

\overline{A}=\sum_{U}^{}(1-\mu_A(u_i))/u_i ( 6.4)

Пересечением нечетких множеств A=\sum_{U}^{}\mu_A(u_i)/u_i и B=\sum_{U}^{}\mu_B(u_i)/u_i называют нечеткое множество

A\cap B=\sum_{U}^{}\min(\mu_A(u_i),\mu_B(u_i))/u_i ( 6.5)

Объединением нечетких множеств A=\sum_{U}^{}\mu_A(u_i)/u_i и B=\sum_{U}^{}\mu_B(u_i)/u_i называют нечеткое множество

A\cup B=\sum_{U}^{}\max(\mu_A(u_i),\mu_B(u_i))/u_i ( 6.6)

Продемонстрируем операции над множествами средствами программы MathCad.

Пример 6.5

Приводим листинги операций дополнения, пересечения, объединения для нечетких множеств в виде матриц примера 6.1. (рис.6.7, рис. 6.8):

Дополнения нечетких множеств. E – единичная матрица.

E_{i,1}:=2\cdot I, \; E_{i,2}:=1, \; EX:=E-X, \; EY:=E-Y

E:=\begin{array}{|c|c|c|} 
\hline & 1 & 2 \\
\hline 1 & 2 & 1 \\
\hline  2& 4 & 1 \\
\hline 3 & 6 & 1 \\
\hline 4 & 8 & 1 \\
\hline 5 & 10 & 1 \\
\hline 6& 12 & 1 \\
\hline 7& 14 & 1 \\
\hline 8 & 16 & 1\\ 
\hline 9 & 18 &1 \\
\hline 10& 20 & 1 \\ \hline
\end{array}, EX:=\begin{array}{|c|c|c|} 
\hline & 1 & 2 \\
\hline 1 &1 & 1 \\
\hline  2& 2 & 0.8 \\
\hline 3 & 3 & 0.4 \\
\hline 4 & 4 & 0.5 \\
\hline 5 & 5& 0.2 \\
\hline 6& 6 & 0.8 \\
\hline 7& 7& 0.3 \\
\hline 8 & 8 & 0.7\\ 
\hline 9 & 9 & 0.9 \\
\hline 10& 10 & 0.9 \\ \hline
\end{array}, EY:=\begin{array}{|c|c|c|} 
\hline & 1 & 0 \\
\hline 1 & 1 & 0 \\
\hline  2& 2 & 0.9 \\
\hline 3 & 3 & 1 \\
\hline 4 & 4 & 0.5 \\
\hline 5 & 5 & 0.4 \\
\hline 6& 6 & 0.8 \\
\hline 7& 7& 0.5 \\
\hline 8 & 8& 0.9\\ 
\hline 9 & 9 &0.2 \\
\hline 10& 10& 0.5 \\ \hline
\end{array}

 Дополнения  нечетких  множеств X и Y. E – единичная матрица

Рис. 6.7. Дополнения нечетких множеств X и Y. E – единичная матрица
XuY_{i,1}:=I,\; XnY_{i,1}:=iXuY_{i,2}:=\max (X_{i,2},Y_{i,2}),\; XnY_{i,2}:=\min (X_{i,2},Y_{i,2})

XuY:=\begin{array}{|c|c|c|} 
\hline & 1 & 2 \\
\hline 1 &1 & 1 \\
\hline  2& 2 & 0.2 \\
\hline 3 & 3 & 0.6 \\
\hline 4 & 4 & 0.5 \\
\hline 5 & 5& 0.8 \\
\hline 6& 6 & 0.2 \\
\hline 7& 7& 0.7 \\
\hline 8 & 8 & 0.3\\ 
\hline 9 & 9 & 0.8 \\
\hline 10& 10 & 0.5 \\ \hline
\end{array}, XnY:=\begin{array}{|c|c|c|} 
\hline & 1 & 0 \\
\hline 1 & 1 & 0 \\
\hline  2& 2 & 0.1 \\
\hline 3 & 3 & 0 \\
\hline 4 & 4 & 0.4 \\
\hline 5 & 5 & 0.6 \\
\hline 6& 6 & 0.2 \\
\hline 7& 7& 0.5 \\
\hline 8 & 8& 0.1\\ 
\hline 9 & 9 &0.1 \\
\hline 10& 10& 0.1 \\
\end{array}

 Пересечение и объединение  нечетких  множеств X и Y

Рис. 6.8. Пересечение и объединение нечетких множеств X и Y

Пример 6.6

Приводим листинги операций дополнения, пересечения, объединения для нечетких множеств примера 6.2 с треугольными функциями принадлежности. (рис.6.9, рис. 6.10,6.11 )

Дополнение множеств AF1d(x):=1-AF1(x), \; AF2d(x):=1-AF2(x)

Дополнение нечетких  множеств с треугольными функциями принадлежности

Рис. 6.9. Дополнение нечетких множеств с треугольными функциями принадлежности

Объединение и пересечение множеств AF1\cup AF2(x):=\max(AF1(x),AF2(x))

 Объединение  нечетких  множеств с треугольными функциями принадлежности

Рис. 6.10. Объединение нечетких множеств с треугольными функциями принадлежности

Пересечение множеств AF1\cap AF2(x):= \min(AF1(x),AF2(x))

 Пересечение  нечетких  множеств с треугольными функциями принадлежности

Рис. 6.11. Пересечение нечетких множеств с треугольными функциями принадлежности

Расстояние между множествами

Чтобы определить расстояние между элементами множества U, надо наложить метрику на это множество. Рассмотрим следующие метрики. Математическим прообразом реального трехмерного пространства является пространство Евклида. Пространство Евклида обозначают обычно Rz. Для линейных дискретных пространств, особенностью которых является то, что координаты векторов могут принимать лишь дискретные значения, известно пространство Хемминга. Если рассмотреть функции принадлежности всех множеств на универсальном множестве U, то они образуют функциональное множество всех функций, определенных на U, и принимающих значения на отрезке [0, 1]. Метрика на множестве X — это функция \rho (x,y), сопоставляющая каждой паре элементов x, y\in X действительное число по правилу выбранного пространства.

Чтобы найти расстояние между множествами X и Y используются метрики, представленные в таблице 6.2:

Таблица 6.2. Некоторые виды метрик функциональных пространств
Вид метрики Вид множества
U – дискретное множество,n число его элементов U=[a, b] — непрерывное множество
Линейное расстояние (расстояние Хемминга) \rho(\mu_A,\mu_b)=\sum_{i=1}^{n}|\mu_A(x_i)-\mu_B(x_i)| \rho(\mu_A,\mu_b)=\int_{a}^{b}|\mu_A(x)-\mu_B(x)|dx
Евклидово расстояние \rho(\mu_A,\mu_b)=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(\mu_A(x_i)-\mu_B(x_i))^2} \rho(\mu_A,\mu_b)=\sqrt{\int_{a}^{b}(\mu_A(x)-\mu_B(x))^2dx}

Пример. 6.7

Для нечетких множеств X и Y примера 6.1. построим расстояние между множествами в среде MathCad. Обозначим rXYx – расстояние по Хеммингу, rXYe - расстояние по Евклиду (см. рис. 6.2):

rXYx:=\sum_{i=1}^{10}|X_{i,2}-Y_{i,2}|, rXYx=3.1

rXYe:=\sqrt{\sum_{i=1}^{10}(X_{i,2}-Y_{i,2})^2}, rXYe=1.204

Определение понятия "обычное множество, ближайшее к нечеткому"

Обычным множеством, ближайшим к нечеткому множеству A с функцией принадлежности \mu_A(u)\;(u\in U), называют подмножество A_0 множества U, характеристическая функция которого имеет вид:

\mu_{A_0}=
\left\{  
\begin{array}{lc}  
1, \; если \; \mu_A>0.5 \\ 
0, \; если \; \mu_A<0.5 \\ 
1 \; или\; 0,  \; если \; \mu_A=0.5 
\end{array}   
\right\
( 6.7)

Геометрический смысл понятия "обычное множество A_0, ближайшее к нечеткому множеству A" иллюстрирует рис. 6.12.

 Множество, ближайшее к нечеткому

Рис. 6.12. Множество, ближайшее к нечеткому

Значения |\mu_A-\mu_{A_0}| при различном расположении точек графиков функций:

\bullet - функция \mu_A, \bigcirc - функция \mu_A0

Как видно на рисунке, справедливы неравенства

|\mu_A-\mu_{A_0}|<0.5, \; если \; |\mu_A>0.5| \; или \; |\mu_A<0.5|

|\mu_A-\mu_{A_0}|=0.5, \; если \; |\mu_A=0.5| независимо от того \mu_A=1 или \mu_A=0

Если A — обычное множество, то оно является ближайшим к самому себе. Это следует непосредственно из определения.

Пример 6.8

Для множеств X и Y примера 6.1 построим в MathCad множества X0 и Y0 – ближайшие к нечетким, воспользуемся встроенной функцией

if (условие, результат1, результат2)

результат 1 – если условие выполнено, результат 2 в противном случае.

X0,\; Y0 – множества ближайшие к нечетким X и Y

X0_{i,1}:=i, Y0_{i,1}:=i

X0_{i,2}:=if(X_{i,2}>0.5,1,0), Y0_{i,2}:=if(Y_{i,2}>0.5,1,0)

X0=
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline & 1 & 2 \\
\hline 1 & 1 & 1 \\
\hline 2 & 2 &1 \\
\hline 3 &  3 & 1 \\
\hline 4 & 4 & 0 \\
\hline 5 &5 & 0 \\
\hline 6 & 6 &0\\
\hline 7 & 7 & 1 \\
\hline 8 & 8 & 0 \\
\hline 9 & 9 & 0 \\
\hline 10 & 10 & 1 \\
\hline  
\end{array}
, Y0=
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline & 1 & 2 \\
\hline 1 & 1 & 0 \\
\hline 2 & 2 &0 \\
\hline 3 &  3 & 1 \\
\hline 4 & 4 & 0 \\
\hline 5 &5 & 1 \\
\hline 6 & 6 &0\\
\hline 7 & 7 & 1 \\
\hline 8 & 8 & 0 \\
\hline 9 & 9 & 1 \\
\hline 10 & 10 & 0 \\
\hline  
\end{array}

< Лекция 5 || Лекция 6: 123456789