Опубликован: 05.06.2018 | Доступ: свободный | Студентов: 537 / 106 | Длительность: 07:59:00
Лекция 1:

Основные понятия алгебры логики. Функции алгебры логики. Основные логические эквивалентности

Лекция 1: 12345678910 || Лекция 2 >

Представление логической функции в виде таблицы истинности

Прежде всего, определимся с понятием "элементарная логическая функция". Чаще всего,это понятие в литературе никак не расшифровывается. В дальнейшем мы будем понимать под "элементарной логической функцией" ФАЛ от аргументов, каждый из которых, в свою очередь, не является логической функцией и которые имеют своё собственное обозначение.

Таблица истинности указывает значение логической функции при всех значениях наборов аргументов. Ниже мы рассмотрим элементарные логические функции от одной и двух переменных.

Все возможные элементарные логические функции от одной переменной представлены в Табл. 1.1:

Таблица 1.1. Логические функции одной переменной
Функция x Наименование функции Обозначение функции
x=0 x=1
ƒ0 0 0 Константа "ноль" ƒ(x)=0
ƒ1 0 1 Тождественная функция ƒ(x)=x
ƒ2 1 0 Отрицание f(x)=\overline{x}
ƒ3 1 1 Константа "единица" ƒ(x)=1

Здесь интерес представляет лишь одна функция – отрицание. Опишем ее основные свойства:

\overline{0}= 1
\overline{1}= 0
\overline{\overline{x}}= x

Последнее свойств можно описать как "отрицание отрицания есть утверждение".

Все возможные логические функции от двух переменных представлены в Табл. 1.2:

Таблица 1.2. Логические функции двух переменных

функции

Значение функции на наборах логических переменных Наименование функции Обозначение функции

x=0

y=0

x=1

y=0

x=0

y=1

x=1

y=1

ƒ0

0 0 0 0 Константа "ноль" ƒ(x,y)=0

ƒ1

0 0 0 1 Конъюнкция

ƒ(x,y)=x&y

f(x,y)=x \wedge y

f(x,y)= x \cdot y

ƒ(x,y)=xy

ƒ2

0 0 1 0 Запрет по y xΔy

ƒ3

0 0 1 1 x ƒ(x,y)=x

ƒ4

0 1 0 0 Запрет по x yΔx

ƒ5

0 1 0 1 y ƒ(x,y)=y

ƒ6

0 1 1 0 Сумма по mod2(неравнозначность) f(x,y)=x \oplus y

ƒ7

0 1 1 1 Дизъюнкция

ƒ(x,y)=x v y

ƒ(x,y)=x+y

ƒ8

1 0 0 0 Стрелка Пирса (Вебба)

ƒ(x,y)=x↓y

ƒ(x,y)=xОy

ƒ9

1 0 0 1 Равнозначность

ƒ(x,y)=x≡y

ƒ(x,y)=x∞y

ƒ10

1 0 1 0 Инверсия y

ƒ(x,y)=^y

f(x,y)=\overline{y}

ƒ11

1 0 1 1 Импликация от y к x ƒ(x,y)=y→x

ƒ12

1 1 0 0 Инверсия x

ƒ(x,y)=^x

f(x,y)=\overline{x}

ƒ13

1 1 0 1 Импликация от х к y ƒ(x,y)=x→y

ƒ14

1 1 1 0 Штрих Шеффера ƒ(x,y)=x/y

ƒ15

1 1 1 1 Константа "единица" ƒ(x,y)=1

Общее количество функций от n переменных равно: 2^{2^{n}}

Уже на примере этой таблицы, где мы можем перечислить все возможные логические функции от двух переменных, видно, что существуют переменные, от которых ФАЛ меняет свое значение на каких-либо наборах, и переменные, при изменении которое значение функции не меняетсяни на каких наборах переменных.

В первом случае переменную называют фиктивной, а во втором – существенной.

Так, например, для функции ƒ12(x,y) логическая переменная x является существенной, а логическая переменная y – фиктивной.

Рассмотрим теперь логические функции, играющие наибольшую роль в вычислительной технике, и их основные свойства.

Лекция 1: 12345678910 || Лекция 2 >